שינויים
'''שעות'''. 3 הרצאה. סמסטר א'.
# חומר רציף (נוזל), זרימה; שדה מהירות, תאוצה, נגזרת שלמה, מצב סטאציונרי; גישות אוילר ולאגראנג', קווי זרימה ומסלול
# משפטי גאוס וסטוקס, משוואת רציפות של נוזל (שימור מסה); נוזל דחיס ובלתי-דחיס ערבוליות, צירקולצית וקטור המהירות
# טנזור מתיחות, חיכוך, לחץ הידרודינמי; תנאי שפה.
# נוזל אידיאלי, משוואות אוילר; אינטגרל ברנולי, דוגמאות
# זרימה בלתי-מערבלת (פוטנציאלית): פונקצית פוטנציאל; פונקציות הרמוניות ותכוניתן; דוגמאות של זרימה פוטנציאלית. כוח עילוי
# זרימה דו-ממדית: פונקצית זרימה; קווי שווי פונקצית זרימה; ערבוליות ומשוואת זרימה פוטנציאלית במונחי פונקצית זרימה; שימור ערבוליות; דוגמאות של זרימה דו-ממדית.
# תנועת נוזל צמיג: משוואות נבייה–סטוקס; מספר ריינולדס; ניתוח ממדים ודמיון; דוגמאות
# בעיית סטוקס; זרימה בנתיב אחרי גוף נע; טורבולנציה; שכבת גבול, שיטות פרטורבצייה.
# מערבולות: סוגי מערבולות נחות, מתקדמות, ומסתובבות באופן סטאציונרי. פיתרונות אנאליטיים: מונופול, דיפול של לאמב–צ'אפליגין.
# שיטות נומריות לפיתוח פתרונות למערבולות; סדרות פוריה–ביסל ופוריה–צ'בישב; פרוצדורת ניוטון–קנטורוביץ' (ליניאריזציה הדרגתית).
# יציבות הידרודינאמית : חקר ליניארי של אי-יציבות; קריטריון ריליי.
# מערבולות סינגולאריות: פונקצית דלטה, מערבולת נקודתית; אנסמבל של מערבולות נקודתיות; מערכת המילטונית; יציבות לא ליניארית של זוג ושלישית מערבולות נקודתיות.
# נוזלים סובבים: הקירובים של מישור f ומישור בטא, גלי רוסבי, דיפולים סטאציונריים על משור בטא. קירוב מים רדודים, גלי אינרציה-גרוויטאציה.
== 88-520 טופולוגיה אלגברית 1 ==
# קטגוריות ופנקטורים.
# הומוטופיה ותכונותיה, שקילות הומוטופית, נסג, נסג עיוותי.
# הגדרת החבורה היסודית, וההומומורפיזם המושרה.
# הקשר בין החבורות היסודיות בנקודות בסיס שונות, הקשר בין ההומומורפיזמים המושרים ע"י העתקות הומוטופיות. שקילות הומוטופית משרה איזומורפיזם.
# הגדרת מרחב כיסוי, תכונת הרמת המסילה והרמת הומוטופיה של מסילות. חישוב החבורה היסודית של המעגל.
# שימושים ראשונים: משפט נקודת השבת של בראוור עבור עיגול. המשפט היסודי של האלגברה.
# נושאים בתורת החבורות: תכונות אוניברסליות, מכפלה ישרה, מכפלה חופשית, אבליניזציה, מכפלת היתוך, חבורה חופשית, הצגה ע"י יוצרים ויחסים.
# משפט ון קמפן. חישוב החבורה היסודית של מרחבים שונים, כגון משטחים, ספירות, מרחבים פרויקטיביים.
# מרחבי CW, חישוב החבורה היסודית בעזרת מבנה ה CW.
# מרחבי כיסוי: תכונות ההומומורפיזם המושרה ע"י העתקת כיסוי. הקשר בין הסיבים השונים. הרמת העתקות. קיום מרחבי כיסוי.
# הקשר בין תתי החבורות של החבורה היסודית ותכונותיהן למרחבי הכיסוי ותכונותיהם. אוטומורפיזמים של הכיסוי.
# הוכחת משפטים בתורת החבורות באמצעות מרחבי כיסוי.
== 88-524 גאומטריה פרוייקטיבית ==
מרחבים פרוייקטיביים מעל שדה, העתקות פרוייקטיביות, מרחבים אפיניים, משפט דזרג ומשפט פפוס, דואליות, חתכי חרוט, היחס הכפול, איזומורפיזמים של מרחבים פרוייקטיביים.
== 88-525 גאומטריה אלגברית 1 ==
== 88-537 גאומטריה אקסיומטית ==
# מבוא לאקסיומות של הגאומטריה האוקלידית
# הוכחות לא נכונות של אקסיומת המקבילים
# טעויות באקסיומות של אוקלידס
# מבוא לאקסיומות הילברט. אקסיומות שייכות.
# מודלים לאקסיומות שייכות: דוגמות מגאומטריה סופית.
# אקסיומות בין ואקסיומות חפיפה וחוצותיהן.
# אקסיומות רציפות ואקסיומת המקבילים.
# גיאומטריה ניטרלית.
# שקילות של אקסיומות המקבילים וסכום זוויות במשולשים.
# אי-תלויה של אקסיומת המקביל.
# מבוא לגיאומטריה היפרבולית.
# מודלים של המישור ההיפרבולי.
# תנועות אוקלידיות והיפרבוליות וחברותיהן.
== 88-554 מבוא לקומבינטוריקה ==
# מבוא: מהי קומבינטוריקה? קיום, מיון, ספירה, אופטימיזציה. דוגמה מנחה: ריצוף לוח משובץ על-ידי אבני דומינו. שיקולי ספירה וצביעה.
# עקרון שובך היונים: קירוב מספר ממשי על-ידי רציונליים, משפט ארדש-סקרש על קיום תת-סדרה מונוטונית.
# שיטות ספירה בסיסיות: תמורות וצירופים, עם ובלי חזרות. פירושים והכללות. (על-בסיס המבוא ב"מתמטיקה בדידה")
# מקדמים בינומיים ומולטינומיים: נוסחאות הבינום והמולטינום, תכונות בסיסיות, נוסחת הרקורסיה ומשולש פסקל, זהויות בינומיות, הילוכי שריג. (על-בסיס המבוא ב"מתמטיקה בדידה")
# סדרי גודל, נוסחת סטירלינג, קירוב מקדם בינומי בעזרת אנטרופיה.
# בעית הקלפי, שיטת השיקוף, מספרי קטלאן ופירושיהם: נוסחת הרקורסיה, מסילות דיק, ספירת עצים בינריים, ספירת חלוקות של מצולע למשולשים, סידור סוגריים.
# מספרי סטירלינג (מסוג ראשון ושני) ומספרי בל: הגדרה, נוסחאות רקורסיה, נוסחאות היפוך.
# פונקציות יוצרות: דוגמה מנחה, הגדרת פונקציה יוצרת רגילה ומעריכית, שימושים לספירת צירופים ותמורות עם הגבלות.
# טורי חזקות פורמליים וטורי לורן פורמליים: הגדרה ופעולות, קיום הפכי, פיתוח לשברים חלקיים, מגבלות על הצבה.
# ספירה בתנאי סימטריה: פעולת חבורה על קבוצה, סימטריה גיאומטרית (איזומטריות) וקומבינטורית (תמורות), ספירת מסלולים בעזרת הלמה של ברנסייד.
== 88-555 תורת הגרפים ==
# מושגים בסיסיים: גרפים מכוונים ולא מכוונים. דרגות קדקדים. גרפים רגולריים. תתי-גרפים מושרים ופורשים. הילוכים, מסילות ומעגלים. קשירות.
# עצים, יערות ותכונותיהם. עצים מסומנים ומשפט קיילי על עצים פורשים.
# מסלול אוילר ומסילה המילטונית. משפטים של אוילר ושל דיראק.
# גרפי פאון וגרפים מישוריים. נוסחת אוילר ומיון הגופים המשוכללים.
# משפט קורטובסקי ומשפט רוברטסון-סיימור. משפט ארבעת הצבעים (עם הוכחה עבור חמשה צבעים).
# צביעת קדקדים ומספר הצביעה. גרפים דו-צדדיים. משפט ברוקס. קבוצות בלתי-תלויות.
# פולינום הצביעה ומשפט סטנלי.
# שידוכים: משפט הול. משפט מנגר.
# אינדקס הצביעה ומשפט ויזינג.
# בעיות קיצון בתורת הגרפים: משפט טורן.
# מספרי רמזי, למת לחיצות הידיים ומשפט רמזי.
# כלים מאלגברה ליניארית: מטריצת השכנות והלפלסיאן. דרגת הלפלסיאן ומספר רכיבי הקשירות.
# משפט מטריצה-עץ. שיטות ספקטרליות. יישומים להילוכים אקראיים על גרפים.
== 88-570 שיטות הסתברותיות בקומבינטוריקה ==
== 88-572 מבוא לתהליכים סטוכסטיים ==
# תהליכי מרקוב:
## תהליך מקרי
## תכונת מרקוב
## הסתברויות מעבר סטציונריות
## מהלך מקרי
## שרשרות מרקוב: הגדרה, דוגמאות, התנהגות גבולית, התפלגות סטציונרית, סיווג המצבים
# מרטינגלים – (עם פרמטר רציף), תכונות, זמני עצירה, משפט העצירה של Doob, משפטי התכנסות (הוכחות בהתאם לזמן).
# דוגמאות מרכזיות – תהליך פואסון ותנועה בראונית.
== 88-576 תורת המספרים ==
== 88-578 מבוא לתורת הקודים ==
1. קודים מתקני שגיאות (שבוע 2-1)
רעיון כללי, דוגמאות פשוטות, ערוץ סימטרי, משפט שאנון, פענוח, מרחק המינג.
2. קודים לינאריים (שבוע 5-3)
יסודות של שדות סופיים, פרמטרים של קודים לינאריים (אורך, מימד, קצב, מרחק מינימלי), קוד המינג, מטריצה יוצרת, מטריצת בדיקת זוגיות, פענוח לפי תסמונת.
3. קודים ציקליים (שבוע 11-6)
אידאלים בחוגים קומוטטיביים [תזכורת ל-88-212], פולינום יוצר, פולינום בדיקת זוגיות, קודים BCH, קודי ריד-סולומון. קודים על שאריות ריבועיות. קודי גולאי. קשר עם טרנספורמציית פוריה דיסקרטית.
4. פענוח לפי רוב קולות (שבוע 13-12)
רעיון כללי, דוגמאות, קוד ריד-מאלר.
== 88-585 אלגוריתמים לביולוגיה חישובית ==
== 88-599 פריצות דרך במתמטיקה ==
# מהי מתמטיקה? מהי הוכחה? דוגמאות לטיעונים שאינם הוכחה ולהוכחות שגויות בספרות.
# המתמטיקה של ימי קדם: המתמטיקה המצרית והמתמטיקה הבבלית ויחסן למערכות המספרים; לוח פלימפטון 332; המתמטיקה הסינית.
# העידן הקלאסי: אסכולת פיתגורס, מספרים רציונליים, ניסוח גאומטרי של מושג המספר. מספרים בני בניה. תור הזהב של המתמטיקה ההליניסטית: אודוקסוס, אוקלידס וה"יסודות", ארכימדס, אפולוניוס, אסכולת אלכסנדריה והספריה הגדולה.
# דמדומי העידן הקלאסי: תלמי, דיופנטוס והפתרון הפרמטרי למשוואות דיופנטיות, היפטיה.
# הודו: הצגת האפס והמספרים השליליים. פתרון משוואות באמצעות נעלמים. ספרו של Bakhshali, אריבהרטה, ברהמגופטה, בהסקרה השני.
# תור הזהב של המתמטיקה האיסלאמית: אל-חווזירמי והאלגברה. אבו-ופא והטריגונומטריה. עומר כיאם ופתרון המשוואה ממעלה שלישית. אל-קאשי.
# הרנסנס המוקדם: העברים כגורם מעבר. האקדמיה של טולדו. פתרון המשוואות האלגבריות ממעלה עד 4. שצפיונה דל פרו, טרטליה, קרדנו וה- Ars Magna, פרארי; חיוניותם של פתרונות מרוכבים.
# גיבוש הרעיונות המתמטיים בשנים 1550-1625: בומבלי, ויאטה, סטבין, נאפייר והלוגריתמים.
# האסטרונומיה ברנסנס: קופרניקוס, טיכו ברהה, קפלר וגלילאו.
# המאה ה-17 באירופה (בפרט בצרפת ובאנגליה): דקארט והגאומטריה הקרטזית, פסקל וההסתברות, פרמה וכל דבר; המשפט האחרון של פרמה, הקלקולוס, ניוטון ולייבניץ.
# שיא התקופה הקלאסית: אוילר, פונקציית זטא, בעיות טופולוגיות ואינווריאנטים, בעיית הגשרים של קניגסברג. נוסחת אוילר, לגרנז'.
# מתמטיקה בראשית המאה ה-19: גאוס, גלואה. חוסר האפשרות לפתור משוואות, ותורת החבורות. קושי. שוב המשפט האחרון של פרמה.
# גאומטריה לא אוקלידית. התפתחות מאוחרת במאה ה-19: רימן, מרחבים וקטוריים וטרנספורמציות של אלה (קיילי, המילטון, לי, קליין), קנטור (1845-1918) וקבוצות אינסופיות.
# בעיית ארבעת הצבעים.
# הילברט ובעיות הילברט (פריס, 1900). פתרון הבעיה השלישית של הילברט.
# הבעיה השניה של הילברט – יסוד תורת הקבוצות. האקסיומות של צרמלו-פרנקל. עוצמות. גדל, פונקציות רקורסיביות וניתנות-לחישוב. אקסיומת הבחירה.
# עידן הפרדוקסים. כיוונים חדשים במאה העשרים. מתמטיקה חישובית. סיבוכיות.
# בעיות המילניום.
== 88-601 מבט מתקדם על מתמ. תיכונית 1 ==
1. מציאת טור החזקות עבור הפונקציות הטריגונומטריות וההיפרבוליות מתוך הגדרתן הגאומטרית.
2. הכרת הפונקציה האקספוננציאלית, הבנת תכונותיה ושימושיה לתאור תופעות בעולם.
3. הוכחות שונות למשפטים נבחרים בגאומטריה.
4. סיבובים במישור, הסקה של זהויות טריגונומטריות. שיקופים ומושג האוריינטציה במישור, והקשר למושג הדטרמיננטה. קשרים בין בניות גאומטריות ואלגבריות.
5. שמוש במספרים מרוכבים להבנת גאומטריה במישור.
6. אפיון העתקות צפידות במרחב האוקלידי, ומיון מלא של העתקות צפידות במישור.
7. שטח של תחום חסום ע"י מסילה במישור, נפחים, שטח של משטחי סיבוב.
8. קואורדינטות קוטביות, גליליות וכדוריות. חישוב אורכים, שטחים ונפחים בקואורדינטות אלה.
9. קוים גאודטיים על הספירה. בנית מפות של כדור הארץ בעלות תכונות מיוחדות.
10. חתכי חרוט: הוכחת הקשר להגדרות המישוריות של אליפסה פרבולה והיפרבולה.
11. מבוא לגאומטריה פרויקטיבית.
12. נושאים אפשריים נוספים: פאונים ומציין אוילר. מתמטיקה במוסיקה.
== 88-602 מבט מתקדם על מתמ. תיכונית 2 ==
1. התחלות: מספרים מושלמים.
2. התחלות: שלשות פיתגוריות וגילוי המספרים האי-רציונליים.
3. המשפט האחרון של פרמה. הוכחות של אוילר עבור n=3,4 .
4. ארבע הוכחות לקיום אינסוף מספרים ראשוניים. מספרי פרמה ומרסן
5. מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.
6. גילוי המספרים המרוכבים.
7. האקסיומטיזציה של המרוכבים.
8. קוטרניונים, אוקטניונים וקיום הצגה למספר כסכום של רבועים.
9. קומבינטוריקה ספירתית, האינדוקציה המתמטית וראשית האלגברה: ראב"ע ורלב"ג.
10. q - אנלוגים של מספרים ומקדמים בינומיים .
11. מחלקים ראשוניים של מקדמים בינומיים והוכחה אלמנטרית של משפט המספרים הראשוניים.
== 88-608 מתמטיקה בעולם המודרני ==
== 88-620 מתמטיקה פיננסית 1 ==
1. מבוא: ערך נוכחי וערך עתידי של תזרימים, שיעור תשואה פנימי
2. הערכת כדאיות של השקעה, דוגמאות, יסודות הסתברות (תזכורת)
3. השקעה בתנאי אי-ודאיות:גישת תוחלת – שונות להערכת תיקי השקעות
4. מודל של מרקוביץ, חזית של תיקים יעילים.
5. בחירת תיקי השקעות אופטימאליים, משפטי קרנות נאמנות.
6. מבט שני על המודל תוחלת-שונות, מודל לתמחור נכסי הון CAPM
שווי משקל של שוק, קו שוק ההון (CML)
7. מודל תמחור ומקדם הסיכון השיטתי קו שוק ניירות ערך (SML)
מדידת ביצועים בשוק ההון
8. סדרי העדפות ופונקצית תועלת, הגרלות, אקסיומות של תורת התועלת
9. תועלת פון נוימן ומורגנשטרן, משפט האפיון של פונקצית התועלת הליניארית
10. יתרונות וחסרונות של תורת התועלת, הגרלות כספיות ופונקצית התועלת על ההגרלות
11. שינאת סיכון, פונקצית תועלת קעורה, שווה ערך ודאי, פרמיית סיכון
12. מדדים של שינאת סיכון (Arrow-Pratt absolute risk aversion coefficient, relative risk aversion coefficient )
13. השוואת סיכון (across individuals, across wealth level), מבט נוסף על גישת תוחלת שונות, השוואת התפלגות של תשואות הנכסים: שליטה סטוכסטית
== 88-621 מתמטיקה פיננסית 2 ==
1. הקדמה: מהו סיכון, והיווצרות הסיכונים הפיננסיים
2. גידור: מהו גידור? גידור תפעולי וגידור פיננסי
3. השווקים בהם פועלת הפירמה וסוגי סיכונים פיננסים
4. סיכון אשראי: דירוג איגרות חוב, דירוג סינטטי, וחיזוי פשיטות רגל של פירמות
5. סיכון שערי הריבית: סיכון המחיר וסיכון ההשקעה מחדש, מבנה הזמן של שערי ריבית והשימוש בו לצורך חיזוי שערי ריבית עתידיים, ושיעורי האינפלציה העתידיים.
6. סיכון מטבע חוץ
7. שיטות כמותיות להתמודדות עם סיכון: שיטת הערך בסיכון – Value At Risk
== 88-622 הסתברות ותהליכים סטוכסטיים 1 ==
1. מרחב ההסתברות, מושגי השבט (סיגמה-אלגברה) ומידות הסתברות.
2. הסתברות מותנית, תלות ואי-תלות, רציפות של ההסתברות, הלמה של בורל-קנטלי, חוק 0-1 של קולמוגורוב.
3. משתנים מקריים והתפלגויות: הגדרה, דוגמאות, סיווג של משתנים מקרים: בדיד, רציף, רציף לחלוטין, סינגולרי. פונקצית הצפיפות.
4. התפלגות מיוחדות ואפיונים. (מעריכי, אי-זכרון, גמה, פואסון).
5. מומנטים (תוחלת ושונות). משפטי קיום,דוגמאות, קשר בין מומנטים לאפיון ההתפלגות.
6. התפלגויות רב-מימדיות. אי-תלות בין משפחות של משתנים מקריים, שונות משותפת ומקדם המתאם. התפלגות רב-נורמלית.
7. משפטי גבול: צורות שונות של התכנסות. החוק החזק של המספרים הגדולים. משפט הגבול המרכזי.
8. התוחלת המותנת (ביחס לשבט). תכונות ודוגמאות.
9. מהלכים מקריים.
== 88-623 הסתברות ותהליכים סטוכסטיים 2 ==
1. התיאוריה הכללית של תהליכים סטוכסטיים.
2. תורת המרטיגלים (בדיד ורציף), זמני עצירה ומשפט העצירה.
3. התנועה הבראונית.
4. תהליך פואסון והרחבות.
5. אופציונאלי: תהליכים נקודתיים, תהליכי התחדשות.
6. חשבון סטוכסטי. אינטגרל איטו.
7. משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות.
8. אופציונאלי: שרשרות מרקוב ותהליכי מרקוב.
== 88-624 סטטיסטיקה וניתוח נתונים ==
1. חשיבה סטטיסטית.
2. ערכים קיצוניים/חסרים וקשרים בין משתנים: טיפול בערכים קיצוניים /חסרים.
3. התפלגויות: חי-בריבוע, F, T, Exp ואחרות.
4. הסקה סטטיסטית: אומדים, בדיקת השערות.
5. מודלים לינאריים.
6. רגרסיה לוגיסטית.
7. רגרסיה לוגיסטית אורדינלית.
8. ניתוח מאבחן.
9. המודל האמפירי: תהליך בניית מודל.
== 88-625 משוואות דיפרנציאליות ==
== 88-626 אופטימיזציה ==
1. מבוא לחקר אופטימיזציה ותכנון לא ליניארי.
תנאים לאופטימליות.
מבני האלגוריתם.
2. חיפוש "אוניווארי" (חד משתני).
3. המורד התלול ביותר.
שיטת ניוטון.
דמוי (קוואזי) שיטת ניוטון.
כיוונים מצומדים.
שיטות התמרה לאופטימיזציות מוגבלות.
4. שיטות פרימליות לאופטימיזציות מוגבלות.
== 88-627 יסודות המימון למתמטיקאים ==
1. מטרת הפירמה
2. ערך הזמן של כסף
3. ערך נוכחי נקי ויצירת עושר
4. ערך נוכחי נקי וקריטריוני השקעה אחרים
5. בניית התזרים הכספי של הפרויקט
6. סיכון, תורת תוחלת התועלת, ביטוח ומחיר ההון
7. סיכון ופיזור השקעות: מודל תמחור נכסים מסוכנים (CAPM)
8. מימון לזמן ארוך: איגרות חוב ומניות
9. מחיר ההון: הון עצמי, הון זר וממוצע משוקלל של מחיר ההון
10. מנוף פיננסי והרכב הון אופטימלי
== 88-628 מבוא לכלכלה למתמטיקאים ==
== 88-629 תמחור אופציות ==
1. השקעות: מהימורים לשוק המניות. תיק השקעות מממן את עצמו, ארביטרז', גידור בעזרת משפט ההפרדה של על-מישורים.
2. אופציות: הגדרה ויסודות. אופציות אירופאיות ואמריקאיות, ,המודל החד-תקופתי,
3. זמן בדיד, המודל הבינומי, הסתברות אדישה לסיכון,
4. מבדיד לרציף: תנועת בראון, תנועת בראון גיאומטרי, משפט ג'רסנוב, הלמה של איטו,
5. תמחור אופציות בזמן רציף, גידור בזמן רציף, משוואת בלק- שולס, נוסחת בלק שולס.
6. מודלים כלליים בזמן רציף, דרך משוואות דיפרנציאליות חלקיות ושיטות מונטה-קרלו.
== 88-636 שיטות נומריות מתקדמות ==
== 88-642 תורת המשחקים לפיננסית ==
2. משחקים בצורה אסטרטגית. שווי משקל.
3. אסטרטגיות שולטות.
4. משחקים דינמיים.
5. משחקים סכום־אפס.
6. משחקים עם ידיעה לא שלמה.
== 88-644 מודלים פיננסיים מתקדמים ==
== 88-647 ניתוח דוח"ות כספיים והערכת שווי חברה ==
== 88-652 סמינר בניהול סיכונים ומידע ==
== 88-798 תורת המספרים האלגברית ==
1. שלמים אלגבריים, הרחבות שלמות של חוגים, סגור שלם.
2. שדות מספרים וחוגי השלמים שלהם. נורמה ועיקבה. דיסקרימיננטות.
3. תחומי דדקינד. חוג השלמים בשדה מספרים הוא תחום דדקינד. פירוק יחיד של אידאל בתחום דדקינד כמכפלה של ראשוניים.
4. אידאלים שבורים וחבורת המחלקות. סופיות של חבורת המחלקות. חסם מינקובסקי.
5. משפט היחידות של דיריכלה.
6. הסתעפות של אידאלים ראשוניים בהרחבה של שדות מספרים. הקבועים e, f, g. הנוסחה היסודית. הסתעפות של אידאלים ראשוניים בהרחבת גלואה של שדות מספרים. תת-חבורות של פירוק והתמדה.
7. ערכים מוחלטים והערכות. מיון של ערכים מוחלטים על שדה המספרים הרציונליים.
8. השלמה של שדה מספרים ביחס לערך מוחלט. שדות מקומיים. מספרים ושלמים p-אדיים. משפט אוסטרובסקי. הרחבות של הערכות. הלמה של הנזל.
9. מבוא (בלי הוכחות) לתורת שדות המחלקות ולהתאמות לנגלנדס.
== 88-809 מערכות דינמיות ==
I) מושגים בסיסיים במערכות דינמיות רציפות
1. מערכות חד מימדיות: נקודות שבת, הסתעפויות (ביפורקציות), דינמיקה של משוואות מהצורה F(x)=(dx/dt)2.
2. מערכות דו מימדיות: סיווג של נקודות שבת, דיאגרמת במישור הפאזה, מסלולי גבול (limit cycles) ויציבותם, שיטות הפרעה (פרטורבטיביות) לתנודות קטנות לא לינאריות, שיטת לינסטט-פואנקרה לפתרונות מחזוריים, משפט פואנקרה-בנדיקסון (ללא הוכחה), פיצול הופף.
3. מערכות במימד גבוה: ניתוח נקודות שבת, יריעות יציבות, לא יציבות ומרכזיות, משפט הרטמן-גרובמן, מסלולים הומוקלינים והטרוקלינים, מסלולי גבול ויציבותם, פונקציות ליאפונוב.
4. כאוס: משוואת לורנץ (תכונות בסיסיות, חקירה נומרית, המושך המוזר, מימדו ותכונות אחרות), משוואת דאפינג המאולצת (תכונות בסיסיות, שיטות הפרעה, תת-הרמוניות, חקירה נומרית, שימוש בחתכי פואנקרה, התנהגות דמוית-מחזורית), מעריכי ליאפונוב.
II) מושגים בסיסיים במערכות דינמיות בדידות
1.המפה הלוגיסטית: תכונות בסיסיות, פיצולים והכפלת מחזור, מפלים מכפילי מחזור ותורת הרה-נירמול, משפט סרקובסקי, הגדרת הכאוס, מידות אינווריאנטיות, שימוש בדינמיקה סימבולית, פרקטלים.
2.מערכות חד מימדיות אחרות, מסלולים שונים לכאוס, מעריכי ליאפונוב.
3.מערכות מישוריות: מפת הפרסה של סמייל, מפת הנון, המפה הסטנדרטית, או דוגמאות אחרות למיפויים כאוטיים מישוריים.
III) לפי הזמן: כאוס המילטוניאני: מטוטלת כפולה, בעיית שלושת הגופים.
== 88-813 אלגברה קומוטטיבית ==
== 88-820 הצגות של אלגברות ==
1. חזרה על מודולים, תורת וודרבורן, רדיקלים.
2. מודולים פרויקטיביים, מודולים אנג'קטיביים.
3. אלגברות בסיסיות ואלגברות מסלול.
4. תורת אוסלנדר-רייטן.
5. משפט גבריאל.
6. אלגברות חברות-למחצה.
7. שימושים.
== 88-821 טופולוגיה אלגברית 2 ==
1. הגדרת קומפלקס שרשראות, וההומולוגיה של קומפלקס שרשראות.
2. הגדרת הומולוגיה סינגולרית, תכונות בסיסיות.
3. איזומורפיזם בין ההומולוגיה הראשונה והאבליניזציה של החבורה היסודית.
4. נושאים באלגברה הומולוגית: סדרה ארוכה מדויקת, למת החמישה, הומוטופיית שרשראות, פנקטורים והעתקות טבעיות.
5. סדרת מאיר ויאטוריס. חישוב הומולוגיה של מרחבים שונים.
6. שימושים שונים: משפט נקודת השבת של בראוור, משפט ג'ורדן הכללי, משפט שימור התחום, שדות וקטוריים על ספירות.
7. הומולוגיה יחסית, משפט הקיצוץ.
8. הומולוגיה של מרחבי CW, אלגוריתם לחישוב מפורש של חבורות ההומולוגיה מתוך מבנה ה CW.
9. הומולוגיה עם מקדמים, מציין אוילר.
== 88-825 גאומטריה אלגברית 2 ==
== 88-831 אנליזה מרוכבת 1 ==
חזרה על הנושאים הנחוצים מהקורס "פונקציות מרוכבות": משוואות קושי רימן. אנליטיות. פונקציות אנליטיות בסיסיות. נגזרות פורמליות. מסילות ואינטגרציה. נוסחת קושי. משפט קושי. משפט גרין המרוכב. נוסחת קושי-גרין. משפט מוררה. משפט ליוביל. משפט ווירשטרס. עקרון המקסימום. טורי חזקות. פיתוח טיילור. פיתוח לורן. סוגי סינגולריות. פונקציות הרמוניות. עקרון הארגומנט. משפט רושה. התנהגות מקומית של העתקה אנליטית. העתקות בי-לינאריות. משפט ההעתקה של רימן.
פיתוח והכללות של מספר נושאים שנלמדו: הכללת משפט מוררה. התנהגות טורי חזקות על השפה. הלמה של בורל-קראתאודורי. גרסה חזקה של משפט ליוביל. גירסה חלשה של משפט פיקרד. הגירסה הכללית של משפט קושי.
משפטי הורוביץ. סכימת טורים בעזרת משפט השארית.
תכונות גיאומטריות נוספות של העתקות בי-לינאריות.
הלמות של שוורץ ושל שוורץ-פיק. כפיפות (Subordination ) של פונקציות.
קומפקטיות במרחבים של פונקציות אנליטיות ומשפט מונטל. משפט ויטלי. הוכחת משפט ההעתקה של רימן.
פונקציות הרמוניות ובעיית דיריכלה.
עקרון השיקוף של שוורץ.
== 88-833 אנליזה מודרנית 2 ==
== 88-861 הצפנה ==
1. יסודות של הצפנה עם מפתח פומבי (שבוע 2-1)
(תזכורת ל-88-577)
פונקציות חד-כיווניות, החלפת מפתחות לפי דיפי-הלמן, הצפנה וחתימה דיגיטלית לפי אל-גמל, מערכות לוגריתם דיסקרטי, התקפות גנריות: צעד תינוק - צעד ענק, אלגוריתמים של פולרד (רו ולמדה), שיטת פוליג-הלמן.
2. עקומים אליפטיים (שבוע 5-3)
משוואת ויירשטרס, דיסקרימיננטה, האינווריאנט j, חוק החבורה, הערכת הסה, מימוש יעיל של מערכות עקומות אליפטיים: קואורדינטות פרויקטיביות, פרוייקטיביות-ממושקלות, קואורדינטות של יעקבי, של צ'ודנובסקי, קואורדינטות מעורבות, צורת מונטגומרי, התקפות על מערכות DLP (סקירה כללית), בסיסי פקטור וחשבון אינדקסים.
3. ספירת נקודות על עקומות אליפטיים מעל שדות סופיים (שבוע 7-6)
תיאור של שיטת שכוף (איזוגניות, פולינומי חילוק, עקבת פרובניוס).
4. מערכות הצפנה המבוססות על ת.ז. (שבוע 12-8)
העתקות דו-לינאריות, החלפת מפתחות תלת-צדדית לפי דיפי-הלמן, זיווג וייל: דיוויזורים, פונקציות רציונליות, נקודות פיתול, בניית זיווג ותכונותיו העיקריות. זיווג טייט-ליכטנבאום, האלגוריתם של מילר לחישוב של זיווגים. מערכות המבוססות על פונקציה חד-כיוונית קידוד-פענוח.
5. מערכות היפר-אליפטיות (שבוע 13)
סקירה כללית.
== 88-862 סמינר באנליזה ==
תורת משפחות נורמליות של פונקציות מירומורפיות המוגדרות בתחומים של מישור המרוכב, ונושאים נלווים.
== 88-870 הסתברות וגאומטריה של חבורות ==
== 88-900 שיטות מתמטיות למשוואות דיפרנציאליות ==
1 משוואות מסדר ראשון, עקומות מאפיינות, פתרונות מוכללים ופתרונות וריאציונאליים.
2 משוואות מסדר גבוה יותר, בעיות מוצבות היטב.
3 משוואת הגל, משוואת החם, בעיות תנאי התחלה, פתרונות קלאסיים ופתרונות L2.
4 אנליזת פוריה, התפלגויות (distributions).
5 מרחבי סובולב.
6 משוואות אליפטיות.
7 שיטות קלאסיות: פתרונות יסודיים, כלל המקסימום, בעיות שפה למשוואת לפלס, הפרדת משתנים.
== 88-901 שימושי משוואות דיפרנציאליות ==
1 חזרה על התיאוריה הקלאסית של משוואות אליפטיות מסדר 2.
2 שיטות שונות, קלאסיות ואחרות, לפתרון בעיות שפה למשוואות אליפטיות מסדר 2.
3 אנליזה פונקציונאלית למרחבים שונים של התפלגויות (distributions).
4 אופרטורים פסידו-דפנרציאליים והשימוש בהם בפתרון בעיות אליפטיות. תורת הרגולריות ופרמטריסים.
5 שיטות של אופרטורים פסידו-דיפרנציאליים למשוואות היפרבוליות. אנליזה מיקרולוקאלית וההתקדמות של סינגולריות.
6 אנליזה פונקציונאלית לא לינארית: תיאורית נקודות שבט ותיאורית דרגה (degree theory).
7 תורת ההסתעפויות.
== 88-902 שיטות נומריות מתקדמות ==
1. מבוא לבעיות אליפטיות .
2. ניסוח וריאציונאלי. קיום ויחידות.
3. השיטה של גלרקין.
שיטת של האלמנטיים הסופיים.
4. התכנסות וערכות של השגיאה. דוגמאות.
מבוא לבעיות פרבוליות
משוואת החום
5. שיטה ספקטראלית. ערכים עצמים ווקטורים עצמים.
מבוא לבעיות "mixed" .
6. מבוא לבעיות היפרבוליות לא לינאריות.
7. המשוואה של Burgers.שיטת האופיינים.
8. פתרון חלש- אנטרופיה.
9. שיטות נומריות לבעיות היפרבוליות לא לינאריות.
== 88-906 אלגברה טרופית ==
== 88-922 סמינר במתמטיקה שימושית ==
כל סטודנט יכין הרצאה או בנושא כללי (כגון: שימושים במד"ח, מודלים בביולוגיה, מודלים בכלכלה, שיטות חישוביות, עיבוד תמונה) או על מאמר חשוב ומרכזי בתחום.
הדגש בסמינר יהיה יותר על הבנת הבסיס בתחום הנבחר - רקע, מוטיבציה (למה זה מעניין?), דוגמאות, הבנת הבעיה (למה זה קשה?) וגישה לפתרון.
== 88-962 הסתברות ותהליכים סטוכסטיים ==
# תנועה בראונית
# תהליכי הסתעפות
# מרתינגליםמרטינגלים
