שינויים
/* תיקון לתרגיל 7 */
*שימו לב לגרסא הפוסט-אחרונה לתרגיל 7. וקטור האפס בשאלה 3.a הוא עם 2 קואורדינטות ולא 3
*שימו לב לגרסא הפוסט-אחרונה-חביבה לתרגיל 7. בשאלה 2 אתם נדרשים לחשב נפח של פוליטופ ולא סתם פוליטופ...
===השלמה לתרגיל, לתלמידי כל המתרגלים===
בתרגיל הראנו שכל מטריצה <math>A</math> ששומרת נורמה שומרת מכפלה פנימית מעל הממשים. כלומר אם <math>\forall v \in V:||Av||=||v||</math> אזי גם <math>\forall v,w \in V: <Av,Aw>=<v,w></math>.
'''הוכחה''':
<math>A</math> שומרת נורמה ולכן <math>\forall v \in V:||Av||=||v||</math>, ניקח <math>v=w+u</math> אזי <math>||A(u+w)||=||u+w||</math> ולכן <math>||A(u+w)||^2=||u+w||^2</math> ולכן <math><A(u+w),A(u+w)>=<u+w,u+w></math>, ולכן <math><Au+Aw,Au+Aw>=<u+w,u+w></math>. נפתח את שני הצדדים לקבל:
:<math><Au,Au>+<Aw,Aw>+<Au,Aw>+<Aw,Au></math>
:<math>=<u,u>+<w,w>+<u,w>+<w,u></math>
אבל מעל הממשיים המכפלה הפנימית היא סימטרית ולכן:
<math><Au,Au>+<Aw,Aw>+2<Au,Aw>=<u,u>+<w,w>+2<u,w></math>
<math>||Au||^2+||Aw||^2+2<Au,Aw>=||u||^2+||w||^2+2<u,w></math>
<math>A</math> שומרת על נורמה ולכן אפשר לצמצם ולקבל
<math>2<Au,Aw>=2<u,w></math>
נחלק ב2 לקבל את שרצינו.
'''הוכחה מעל המרוכבים''':
כעת, אם אנחנו מעל המרוכבים, המכפלה הפנימית אינה סימטרית אלא הרמיטית. ולכן השיוויון יהיה:
<math><Au,Aw>+\overline{<Au,Aw>}=<u,w>+\overline{<u,w>}</math>
ולכן <math>2Re(<Au,Aw>)=2Re(<u,w>)</math>.
נותר להוכיח שיוויון גם עבור החלק המדומה. ניקח <math>v=u+iw</math> ונקבל:
<math><Au+iAw,Au+iAw>=<Au,Au>+<iAw,iAw>+<Au,iAw>+<iAw,Au></math>
<math>=<Au,Au>+i\overline{i}<Aw,Aw>+\overline{i}<Au,Aw>+i<Aw,Au></math>
<math>=<Au,Au>+<Aw,Aw>-i\cdot\overline{<Au,Aw>}+i<Au,Aw></math>
<math>=<Au,Au>+<Aw,Aw>+\overline{i<Au,Aw>}+i<Au,Aw></math>
<math>=||Au||^2+||Aw||^2+2Re(i<Au,Aw>)</math>
<math>=||Au||^2+||Aw||^2-2Im(<Au,Aw>)</math>
וע"י פיתוח הצד השני נקבל את השיוויון עבור החלק המדומה, וסה"כ נקבל <math><Av,Aw>=<v,w></math>
