שינויים

__NOTOC__<div id== משוב והערות למרצים ולמתרגלים =='''[[משוב|דף משוב]]'''"mf-home">

== חוברת הקורס אלגברה לינארית של ד"ר בועז צבאן =='''[[מדיה: linear.pdf|הורד את חוברת הקורס]]ברוכים הבאים לאתר הMath-Wiki'''- אתר לשיתוף והפצת מידע אקדמי.

== אינפי 1 לתיכוניסטים ==בין היתר ניתן למצוא '''[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע|קישור לדף הקורס]]מבחנים''', '''תרגילים''' ו'''סיכומים''' ברשימת הקורסים הכללית למטה.

האתר פתוח לשימוש לכל תלמיד/מורה הרוצה ללמד/ללמוד. <font size="6" >[https://xi.math-wiki.com/index.php?url=לינארית 2 לתיכוניסטים=='''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע|דף שאלות ותשובות]https://math-wiki.com הרשם/הכנס לאתר]'''</font>

*אין להעלות חומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות, '''[[תרגילים לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע| תרגילים]]אם זכויות היוצרים שלך הופרו'''- בבקשה לשלוח מייל לכתובת erez בmath.biu.ac.il והחומר יוסר לאלתר.

=== הוכחת משפט לפלס תקצירי קורסים===*[[אנליזת פורייה/שיינר/תקציר הרצאות|אנליזת פורייה]] - טורי פורייה, התמרת פורייה, התמרת פורייה הבדידה DFT*[[מד"ר תקציר הרצאות|מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות]] - סדר ראשון, לינאריות מסדר גבוה, טורי טיילור, התמרת לפלס, הדלתא של דירק*[[89-214 מבנים אלגבריים/תקציר הרצאות|מבנים אלגבריים למדעי המחשב]] - חבורות (ומעט חוגים ושדות), הצפנה, קידוד

'''===מיני קורסים ללמידה עצמית===*[[מדיה:Minors.pdf|הורד קובץמיני קורס ללמידה עצמית בחדוא]]*[[מיני קורס ללמידה עצמית בלינארית]]'''

==קישורים מיוחדים = דוגמא לליכסון מטריצה =<center>{| border="1" cellpadding="20px" style="text-align:right; text-wrap:none; font-size:14px; "'''|- style=" font-size:18px; color:#f5f5f5; background-color:#b0b0d4;" ![[מדיה:AdiDiag.pdfהכנה לקראת לימודי הקיץ של החממה האקדמית לנוער מצטיין במתמטיקה]]|הורד קובץ-|- style=" font-size:18px; color:#f5f5f5; background-color:#b0b0d4;" ![[החממה האקדמית לנוער מצטיין במתמטיקה - שאלות ותשובות]]'''|}</center>

*[[הרחבת הסמכה למורים למתמטיקה|הרחבת הסמכה למורים למתמטיקה - בר אילן]]*[[הרחבת הסמכה למורים למתמטיקה - באר שבע|הרחבת הסמכה למורים למתמטיקה - באר שבע]]*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hnN4ChisMFiegttLWjYEw19 הרצאות מעגלים מתמטיים]*[http://u.cs.biu.ac.il/~porately/biu.html אתר הכנה לקראת לימודי תכנות של פרופ'''הערהאלי פורת]*[[מדיה:18StudentGuide.pdf|מדריך לסטודנטים המתחילים שנה א'- פרופ'' שימו לב שעמודות המטריצה M הינן וקטורים עצמיים של המטריצה המהווים בסיס.עוזי וישנה]]

==סיכומים, מבחנים ותרגילים= אלגוריתם לשילוש מטריצה ===ניתן לקרוא בחוברת בעמוד 88: משפט השילוש ושאלה 4.2. בנוסף אפשר לקרוא בדף ה[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע|שאלות ותשובות]]

=== השלמה לקבוצה של ד"ר צבאן ===החלק החסר מההוכחה בסוף השיעור*[https://exams.math.biu.ac.il מאגר המבחנים של המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר אילן]

(לקריאה עצמית על ידי התלמיד){| border="1" cellpadding="20px" style="text-align:right; vertical-align:top; "|-'''|* [[מדיה:DiagThm.pdf|הורד קובץ88-101 חשיבה מתמטית]]'''* [[88-112 אלגברה לינארית 1]]=== בוחן בקורס: ביום ג* [[88-113 אלגברה לינארית 2]]* [[88-130 מתמטיקה א' שאחרי חנוכה ===מדעי החיים]]* [[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]ביום ג', 22 דצמבר, בשעה שלש וחצי (במקום ההרצאה) ייערך בוחן על כל החומר שיילמד* [[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2]]עד חנוכה. |* [[88-151 שימושי מחשב]]'''איפה הבוחן?''' בניין 501, חדר 160 (אולם הספורט לשעבר, הכניסה ליד מגרש הספורט).* [[88-153 מבוא לתכנות מדעי]]* [[88-165 מבוא להסתברות וסטטיסטיקה]]'''מה ללמוד לבוחן?''' מה שלמדנו בהרצאה ובתרגיל, עד חנוכה.* [[88-170 מבוא לחישוב]] (בחנוכה אין לימודים בקורס שלנו.) זה כולל הגדרות, ניסוח מדוייק והוכחות משפטים, משפטונים * [[88-195 מתמטיקה בדידה]](שמשפטונים אפשר להוכיח גם כשלא זוכרים את ההוכחה מהכתה), ויכולת פתרון תרגילים ברמת קושי * [[88-201 גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]דומה לתרגילי הבית.* [[88-202 תורת הקבוצות]] |מטרות הבוחן: * [[88-211 מבוא לתורת החבורות]] * [[88-212 מבוא לחוגים ומודולים]] 1. הבאת ההתלמיד להבנה טובה של החומר שנלמד עד שלב זה, שתאפשר לו להתמודד עם* [[88-218 תורת החבורות]]המשך הקורס בצורה טובה.* [[88-235 אנליזת פורייה ויישומים]]* [[88-220 מבוא לטופולוגיה]]2. נקודת ביקורת, שבה התלמיד מעריך את הידע והטכניקה הנוכחיים, במטרה לראות האם עליו* [[88-222 טופולוגיה]]לשפרם בצורה משמעותית לקראת המבחן.* [[88-230 חשבון אינפיניטיסימלי 3]]* [[88-231 פונקציות מרוכבות]]'''מתי כדאי ללמוד לבוחן?'''|-מי שפנוי לכך בימי החנוכה, זה הזמן המומלץ ביותר.|מי שלא, יכול ללמוד עד חנוכה, ולרענן את זכרונו מיום ראשון עד יום שלישי.* [[88-236 חשבון אינפיניטיסימלי 4]]* [[88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות]]'''ואם יהיו לנו שאלות?'''* [[88-241 משוואות דיפרנציאליות חלקיות]]ד"ר צבאן יעביר בהתנדבות שיעור ביום חמישי שחל בחנוכה (17 דצמבר), בשעות* [[88-280 מבני נתונים ואלגוריתמים]]שתיים עד ארבע, '''בניין 105, חדר 106'''. השיעור הוא רשות, מיועד רק למי שיש לו שאלות או רוצה לשמוע* [[88-311 תורת גלואה]]תשובות לשאלות של האחרים, ופתוח לתלמידי שתי הקבוצות.* [[88-315 התמרות אינטגרליות]]* [[88-320 פיזיקה למתמטיקאים]]'''מה משקל הבוחן בציון הסופי?''' הבוחן הוא עשר אחוזים מהציון הסופי.|למשל, מי שיקבל חמישים בבוחן, ציונו הסופי יהיה לכל היותר (בהנחה * [[88-341 אנליזה מודרנית 1]]ששיפר את יכולותיו עד המבחן) תשעים וחמש.* [[88-369 חקר ביצועים]]* [[88-373 הסתברות וסטטיסטיקה מתמטית]]'''ואם איני יכול להגיע לבוחן מסיבה מוצדקת?''' כעיקרון, אין הרבה סיבות מוצדקות* [[88-376 שיטות נומריות 1]]להיעדר מהבוחן. במקרים מאד חריגים (שאנו מקוים שלא יהיו), ומגובים על ידי מסמכים* [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1]]רשמיים, ננסה לטפל בצורה פרטנית. לא מובטח שהפתרון למקרים כאלה יהיה אופטימלי, אך* [[88-524 גיאומטריה פרוייקטיבית]]נעשה כמיטב יכלתנו לפתור את הבעיה לפחות חלקית.* [[88-525 גיאומטריה אלגברית 1]]* [[88-537 גאומטריה אוקלידית ולא אוקלידית]]=== תיקון/השלמה לתרגיל * [[88- לתלמידי כל המתרגלים ===555 תורת הגרפים]]יהיה <math>V</math> ממ"פ ממימד <math>n</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...v_n \in V</math>. נגדיר את מטריצת גרהם <math>A</math> ע"י <math>a_{ij}=<v_i,v_j></math>. הוכח:* [[88-558 גרפים מרחיבים]]* [[88-599 פריצות דרך במתמטיקה]]<math>v_1,...v_n\iff |A|=0</math> ת"ל '''* [[פתרון לתרגיל 88-601 מתמטיקה תיכונית מנקודת מבט מתקדמת 1.8 בחוברת לינארית|פתרון]]'''* [[88-602 מתמטיקה תיכונית מנקודת מבט מתקדמת 2]]=== תיקון/השלמה שנייה לתרגיל * [[88- לתלמידי כל המתרגלים ===610 מתמטיקה בדידה למורים]]* [[88-611 מבוא לאנליזה 1]]<math>A</math> לכסינה <math>\iff</math> הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה <math>m_A(t)=(t* [[88-\lambda_1)\cdots(t612 מבוא לאנליזה 2]]* [[88-\lambda_k)</math> עבור <math>\lambda_1,...,\lambda_k</math> הע"ע השונים של <math>A</math>613 מבוא לאלגברה לינארית]]* [[88-614 גאומטריה אוקלידית ואנליטית]]'''* [[קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי|פתרון88-616 גאומטריה אוקלידית למורים]]'''* [[88-617 מבוא לאנליזה מתקדמת למורים]]===שאלת הבונוס===תהי <math>A \in \mathbb{C}^{n}</math> הפיכה, ונתון ש <math>A^* [[88-618 מבוא לאלגברה לינארית 2</math> לכסינה. הוכח ש<math>A</math> לכסינה.]]|-|יש פותרים לשאלת הבונוס. השאלה נפתרה בשתי דרכים עיקריות:* [[88-625 משוואות דיפרנציאליות לכלכלנים]]* [[88-634 תורת התמחור]]* [[88-580 תורת המשחקים]]'''1.''' הפותרים: '''רום דודקביץ''' ו'''עידו קוטלר'''* [[88-7810 מבוא לבינה מלאכותית]]* [[88-798 תורת המספרים האלגברית]]<math>P_{A^2}</math> מתפרק לגורמים לינאריים כי אנחנו מעל המרוכבים. לכן <math>P_{A^2}=(x* [[88-\lambda_1)\cdots(x8250 יריעות חלקות וחבורות לי]]* [[88-\lambda_k)</math>. המטריצה <math>A</math> הפיכה ולכן גם <math>A^833 אנליזה מודרנית 2</math> הפיכה, ולכן אין לה ע"ע אפס (לפי משפט). לכן לכל <math>\lambda_i</math> קיימים שני שורשים '''שונים''' <math>\pm\alpha_i</math> כך ש<math>\alpha_i^2=\lambda_i</math>.]]* [[88-853 מהלכים אקראיים]]* [[88-856 פולינומים אורתוגונליים]]<math>P_{A^2}(A^2)=0</math> כלומר לכן * [[88-902 שיטות נומריות ותכנות מדעי]]* [[88-906 אלגברה טרופית]]<math>0=P_{A^2}(A^2)=(A^2* [[88-\alpha_1^2)\cdots(A^29630 תהליכים אקראים על גרפים]]* [[88-\alpha_k^2)=(A-\alpha_1)(A+\alpha_1)\cdots(A-\alpha_k)(A+\alpha_k)=0</math>.962 הסתברות ותהליכים סטוכסטיים]]|* [[89-112 אלגברה לינארית למדעי המחשב]]נסמן <math> g=(x* [[89-\alpha_1)(x+\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)(x+\alpha_k)</math> וקבלנו ש<math>g(A)=0</math> ולכן הפולינום המינימלי של <math>A</math> מחלק את <math>g(A)</math>. אבל <math>g</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן גם הפולינום המינימלי של <math>A</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד (שימו לב, אם אפס היה ע"ע אז היה גורם <math>x^113 אלגברה לינארית 2</math> לא לינארי). ולכן ולפי משפט (ראה תיקון/השלמה שנייה) <math>A</math> לכסינה.למדעי המחשב]]* [[89-118 מבוא לחדוא 1]]* [[89-119 מבוא לאלגברה לינארית]]'''2.''' הפותרים: '''דניאל ורדי* [[89-זר''', '''אסף רוזן''' ו'''ניל וקסלר'''195 בדידה]] אנחנו מעל המרוכבים אז לכל מטריצה יש צורת ז'ורדן. תהיי <math>J</math> צורת הז'ורדן של <math>A</math>. אזי <math>A=P^{* [[89-1}JP</math>, נעלה בריבוע ונקבל <math>A^197 בדידה 2=P^{]]* [[89-1}J^2P</math>כלומר <math>A^2</math> ו <math>J^2</math> דומות. 214 מבנים אלגבריים]]  נניח בשלילה ש<math>A</math> לא לכסינה ונוכיח שנובע ש<math>J^* [[89-218 מבוא לחדוא 2</math> לא לכסינה וזו סתירה לכך ש<math>A^2</math> לכסינה.]]* [[89-276 שיטות נומריות]] <math>J</math> היא סכום ישר * [[89-538 קריפטאנליזה של בלוקים, ולכן <math>J^2</math> היא סכום ישר של הבלוקים של <math>J</math> בריבוע. הנחנו ש<math>A</math> לא לכסינה, לכן בצורת הז'ורדן שלה <math>J</math> יש בלוק בגודל גדול או שווה ל2 (אחרת כל הבלוקים בגודל אחד וזו מטריצה אלכסונית).מערכות הצפנה סימטריות]]|* [[83-108 קומבינטוריקה להנדסה]]נניח <math>J_r(\lambda)</math> בלוק ז'ורדן ב<math>J</math> כך ש<math>r\geq 2</math>. מכיוון ש<math>A</math> הפיכה אין לה ע"ע אפס! ולכן <math>\lambda \neq 0</math>. לכן בהכרח (תרגיל) <math>J_r(\lambda)^2</math> מכיל איברים שאינם אפסים מעל האלכסון, והאלכסון שלו מכיל את <math>\lambda^2</math>. ולכן <math>rank(J_r(\lambda)^2* [[83-\lambda^2I)>0</math>. לכן יש ל <math>J_r(\lambda)^2</math> פחות מ <math>r</math> וקטורים עצמיים בת110 אלגברה לינארית להנדסה]]* [[83-112 חדו"ל.א 1 להנדסה]]  לפי משפט, כמות הוקטורים העצמיים הבת* [[83-114 חדו"ל של מטריצה שהיא סכום ישר של מטריצות, היא סכום כמויות הוקטורים העצמיים הבת"ל בכל אחת מן המטריצות. זה נכון כי <math>rank(A\oplus B)=rankA+rankB</math>. אבל הראנו שיש בסכום הישר של המטריצה <math>J^א 2</math> את הבלוק <math>J_r(\lambda)^2</math> שתורם פחות מ <math>r</math> וקטורים עצמיים בתלהנדסה]]* [[83-115 מד"ל. ולכן לכל המטריצה <math>J^2</math> יש פחות מ<math>n</math> וקטורים עצמיים בת"ל, ולכן היא לא לכסינה. סתירה.ר להנדסה]]* [[83-116 בדידה להנדסה]] '''3.''' הפותר: '''עדן קופרווסר''' אנחנו מעל המרוכבים, ולכן <math>A</math> דומה למטריצה משולשית <math>U</math> שבאלכסון שלה נמצאים הע"ע של <math>A</math>. לכן <math>A^2=P^{* [[83-1}D^2P</math> כלומר הע"ע של <math>A^118 בדידה 2</math> הם בדיוק הריבועים של הע"ע של <math>A</math>.להנדסה]]|-|נוכיח שהמרחב העצמי של <math>A^2</math> עבור הע"ע <math>\lambda_i^2</math> (נסמן אותו ב<math>V_{\lambda_i^2}^{A^2}</math>), שווה לסכום המרחבים העצמיים של <math>A</math> עבור הע"ע <math>\pm\lambda_i</math> (נסמן אותם ב<math>V_{\pm\lambda_i}^A</math>. כלומר נוכיח ש <math>V_{\lambda_i^2}^{A^2} = V_{\lambda_i}^A \oplus V_{* [[83-\lambda_i}^A </math>.210 אנליזה הרמונית להנדסה]]* [[83-211 פונקציות מרוכבות להנדסה]]* [[83-214 כלים לאנליזה נומרית]]דבר ראשון נראה שהסכום הוא אכן ישר. נניח <math>w \in V_{\lambda_i}^A</math> אזי <math>Aw=\lambda_i w</math> וגם <math>w \in V_{* [[83-\lambda_i}^A</math> אזי <math>Aw=217 מבנים דיסקרטיים להנדסה]]* [[83-\lambda_i w</math> לכן ההפרש בינהם יוצא <math>0=Aw218 מבנים אלגבריים להנדסה]]* [[83-Aw=2\lambda_iw</math>. כעת, נתון ש<math>A</math> לא הפיכה ולכן 0 לא ע"ע שלה. ולכן <math>w=0</math> כלומר הסכום הוא ישר.803 אנליזה פונקציונלית להנדסה]]* [[83-804 אלגברה מתקדמת להנדסה]]* [[84-172 מתמטיקה לכימאים ב]]דבר שני, נראה הכלה בכיוון ראשון. נניח <math>w \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{* [[84-\lambda_i}^A</math> אזי <math>w=v_1+v_2</math> כך ש <math>Aw=Av_1+Av_2=\lambda_i v_1273 מתמטיקה לכימאים]]* [[86-\lambda_i v_2</math> ונכפול שוב במטריצה לקבל <math>A^2w=\lambda_i^2v_1+\lambda_i^2v_2=\lambda_i^2w</math> ולכן <math>w \in V_{\lambda_i^2}^{A^2}</math>. ולכן <math>V_{\lambda_i^2}^{A^2} \supseteq V_{\lambda_i}^A \oplus V_{115 מכניקה]]* [[86-\lambda_i}^A </math>.120 חשמל ומגנטיות]]|* [[86-154 מד"ר לפיזיקאים]]בכיוון ההפוך, נניח <math>w \in V_{\lambda_i^2}^{A^2}</math> לכן <math>(A^2* [[86-\lambda_i^2I)w=0</math> לכן <math>(A212 הידרודינמיקה]]* [[מבוא לפיסיקה מודרנית]]* [[88-\lambda_iI)(A+\lambda_iI)w=0</math> וגם <math>(A+\lambda_iI)(A-\lambda_iI)w=0</math>. אם <math>(A+\lambda_iI)w=0</math> אזי <math>w \in V_{-\lambda_i}^A</math> וסיימנו. אם <math>(A-\lambda_iI)w=0</math> אזי <math>w \in V_{\lambda_i}^A</math> וסיימנו. 0101 עולם המספרים]]* [[קורס הכנה למחלקה למתמטיקה]]* [[מכינה למתמטיקה פיננסית]]אם שתי האופציות לא נכונות, כלומר <math>(A* [[מתמטיקה פיננסית]]* [[27-\lambda_iI)w \neq 0</math> וגם <math>(A+\lambda_iI)w \neq 0</math> אזי נסמן <math>u_1=(A+\lambda_iI)w</math> ונסמן <math>u_2=(A-\lambda_iI)w</math>.221 מד"ר למדעי המח]]|מהמשוואות למעלה רואים ש <math>(A* [[31-\lambda_iI)u_1=0</math> וגם <math>(A+\lambda_iI)u_2=0</math>. לכן הם שייכים למרחבים העצמיים המתאימים של <math>A</math> ולכן <math>u_1105 לוגיקה לפילוסופיה]]* [[03-u_2 \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A</math>. אבל <math>u_1-u_2=Aw+\lambda_iw-Aw + \lambda_iw = 2\lambda_iw</math> ולכן <math>2\lambda_iw \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A</math> ולכן <math>w \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A</math> ולכן <math>V_{\lambda_i^2}^{A^2} \subseteq V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A </math>.030 בין הרמבם לרבי יהודה הלוי]]* [[בחינת מושגי יסוד ביהדות]]מכיוון שהראנו הכלה דו* [[קורסי יסוד ביהדות -כיוונית אזי <math>V_{\lambda_i^2}^{A^2} = V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A </math> כפי שרצינו להוכיח.ביקורת]]* [[סילבוסים]]* [[שאלות חדוא לבגרות]]כעת, <math>A^2</math> לסכינה, ולכן סכום הריבויים הגיאומטרים של הע"ע שלה שווה <math>n</math>. אבל הריבוי הגיאומטרי זה מימד המרחב העצמי, ולכן <math>\sum_idim(V_{\lambda_i^2|}^{A^2})=n</math> אבל זה שווה <math>n=\sum_idim(V_{\lambda_i^2}^{A^2})=\sum_i[dim(V_{\lambda_i}^A)+dim(V_{-\lambda_i}^A)]</math> אבל זה בדיוק סכום הריבויים הגיאומטריים של <math>A</math>, ויצא לנו שהוא גם כן שווה <math>n</math>. ולכן <math>A</mathdiv> לכסינה.