'''[[פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע| פתרונות]]'''
=== השלמה להרצאה ===
דוגמא יפה שמראה שלכל פולינום מתוקן, יש מטריצה שהוא הפולינום האפייני שלה.
(לקריאה עצמית על ידי התלמיד)
'''[[מדיה===שימו לב:CompanionCharPolyתרגיל 10===שימו לב לתוספת שאלה 6 בתרגיל 10.pdf|הורד קובץ]]'''
=== הוכחת משפט לפלס שימו לב: תרגיל 8===הוספנו את תרגיל 8, תרגיל יחסית קליל על מנת להשאיר זמן ללמוד לבוחן.
(לקריאה עצמית על ידי התלמיד)===השלמה לתרגיל, לתלמידי כל המתרגלים===בתרגיל הראנו שכל מטריצה <math>A</math> ששומרת נורמה שומרת מכפלה פנימית מעל הממשים. כלומר אם <math>\forall v \in V:||Av||=||v||</math> אזי גם <math>\forall v,w \in V: <Av,Aw>=<v,w></math>.
'''[[מדיה:Minors.pdf|הורד קובץ]]'''
=== דוגמא לליכסון מטריצה ==='''[[מדיה:AdiDiag.pdf|הורד קובץ]]הוכחה''':
'''הערה<math>A</math> שומרת נורמה ולכן <math>\forall v \in V:''' שימו לב שעמודות המטריצה M הינן וקטורים עצמיים של המטריצה המהווים בסיס||Av||=||v||</math>, ניקח <math>v=w+u</math> אזי <math>||A(u+w)||=||u+w||</math> ולכן <math>||A(u+w)||^2=||u+w||^2</math> ולכן <math><A(u+w),A(u+w)>=<u+w,u+w></math>, ולכן <math><Au+Aw,Au+Aw>=<u+w,u+w></math>.נפתח את שני הצדדים לקבל:
=== אלגוריתם לשילוש מטריצה ===
ניתן לקרוא בחוברת בעמוד 88: משפט השילוש ושאלה 4.2. בנוסף אפשר לקרוא בדף ה[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע|שאלות ותשובות]]
=== השלמה לקבוצה של ד"ר צבאן ===החלק החסר מההוכחה בסוף השיעור.:<math><Au,Au>+<Aw,Aw>+<Au,Aw>+<Aw,Au></math>
(לקריאה עצמית על ידי התלמיד):<math>=<u,u>+<w,w>+<u,w>+<w,u></math>
'''[[מדיה:DiagThm.pdf|הורד קובץ]]'''
=== בוחן בקורסאבל מעל הממשיים המכפלה הפנימית היא סימטרית ולכן: ביום ג' שאחרי חנוכה ===
ביום ג'<math><Au, 22 דצמברAu>+<Aw, בשעה שלש וחצי (במקום ההרצאה) ייערך בוחן על כל החומר שיילמדעד חנוכה. Aw>+2<Au,Aw>=<u,u>+<w,w>+2<u,w></math>
'''איפה הבוחן?''' בניין 501<math>||Au||^2+||Aw||^2+2<Au, חדר 160 (אולם הספורט לשעברAw>=||u||^2+||w||^2+2<u, הכניסה ליד מגרש הספורט).w></math>
'''מה ללמוד לבוחן?''' מה שלמדנו בהרצאה ובתרגיל, עד חנוכה.(בחנוכה אין לימודים בקורס שלנו.) זה כולל הגדרות, ניסוח מדוייק והוכחות משפטים, משפטונים (שמשפטונים <math>A</math> שומרת על נורמה ולכן אפשר להוכיח גם כשלא זוכרים את ההוכחה מהכתה), ויכולת פתרון תרגילים ברמת קושי דומה לתרגילי הבית.לצמצם ולקבל
מטרות הבוחן: <math>2<Au,Aw>=2<u,w></math>
1. הבאת ההתלמיד להבנה טובה של החומר שנלמד עד שלב זה, שתאפשר לו להתמודד עםהמשך הקורס בצורה טובהנחלק ב2 לקבל את שרצינו.
2. נקודת ביקורת, שבה התלמיד מעריך את הידע והטכניקה הנוכחיים, במטרה לראות האם עליו
לשפרם בצורה משמעותית לקראת המבחן.
'''מתי כדאי ללמוד לבוחן?הוכחה מעל המרוכבים'''מי שפנוי לכך בימי החנוכה, זה הזמן המומלץ ביותר.מי שלא, יכול ללמוד עד חנוכה, ולרענן את זכרונו מיום ראשון עד יום שלישי.:
'''ואם יהיו לנו שאלות?'''ד"ר צבאן יעביר בהתנדבות שיעור ביום חמישי שחל בחנוכה (17 דצמבר)כעת, בשעותשתיים עד ארבעאם אנחנו מעל המרוכבים, '''בניין 105, חדר 106'''. השיעור הוא רשות, מיועד רק למי שיש לו שאלות או רוצה לשמועתשובות לשאלות של האחרים, ופתוח לתלמידי שתי הקבוצותהמכפלה הפנימית אינה סימטרית אלא הרמיטית.ולכן השיוויון יהיה:
'''מה משקל הבוחן בציון הסופי?''' הבוחן הוא עשר אחוזים מהציון הסופי.למשל<math><Au, מי שיקבל חמישים בבוחןAw>+\overline{<Au, ציונו הסופי יהיה לכל היותר (בהנחה ששיפר את יכולותיו עד המבחן) תשעים וחמש.Aw>}=<u,w>+\overline{<u,w>}</math>
'''ואם איני יכול להגיע לבוחן מסיבה מוצדקת?''' כעיקרון, אין הרבה סיבות מוצדקותלהיעדר מהבוחן. במקרים מאד חריגים ולכן <math>2Re(שאנו מקוים שלא יהיו<Au,Aw>)=2Re(<u, ומגובים על ידי מסמכיםרשמיים, ננסה לטפל בצורה פרטנית. לא מובטח שהפתרון למקרים כאלה יהיה אופטימלי, אךנעשה כמיטב יכלתנו לפתור את הבעיה לפחות חלקיתw>)</math>.
=== תיקון/השלמה לתרגיל - לתלמידי כל המתרגלים ===יהיה <math>V</math> ממ"פ ממימד <math>n</math>נותר להוכיח שיוויון גם עבור החלק המדומה. יהיו וקטורים ניקח <math>v_1,...v_n \in V</math>. נגדיר את מטריצת גרהם <math>A</math> ע"י <math>a_{ij}v=<v_i,v_j>u+iw</math>. הוכחונקבל:
<math>v_1<Au+iAw,...v_n\iff |A|Au+iAw>=0<Au,Au>+<iAw,iAw>+<Au,iAw>+<iAw,Au></math> ת"ל
'''[[פתרון לתרגיל 1.8 בחוברת לינארית|פתרון]]'''<math>=<Au,Au>+i\overline{i}<Aw,Aw>+\overline{i}<Au,Aw>+i<Aw,Au></math>
<math>=== תיקון<Au,Au>+<Aw,Aw>-i<Au,Aw>+i\cdot\overline{<Au,Aw>}</השלמה שנייה לתרגיל - לתלמידי כל המתרגלים ===math>
<math>A=</mathAu,Au> לכסינה +<mathAw,Aw>-i<Au,Aw>-\iffoverline{i<Au,Aw>}</math> הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה <math>m_A=||Au||^2+||Aw||^2-2Re(ti<Au,Aw>)</math> <math>=||Au||^2+||Aw||^2+2Im(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k<Au,Aw>)</math> וע"י פיתוח הצד השני נקבל את השיוויון עבור החלק המדומה, וסה"כ נקבל <math>\lambda_1<Au,...Aw>=<u,\lambda_kw></math> הע"ע השונים של ===תיקון לתרגיל 7===*שימו לב לגרסא האחרונה לתרגיל 7. יש ערך מוחלט סביב <math>A|detT|</math>בשאלה 1.b*שימו לב לגרסא הפוסט-אחרונה לתרגיל 7. וקטור האפס בשאלה 3.a הוא עם 2 קואורדינטות ולא 3*שימו לב לגרסא הפוסט-אחרונה-חביבה לתרגיל 7. בשאלה 2 אתם נדרשים לחשב נפח של פוליטופ ולא סתם פוליטופ...
'''[[קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי|פתרון]]'''
===שאלת הבונוס===
הפותרים: '''רום דודקביץ''', '''עידו קוטלר''', '''דניאל ורדי-זר''', '''אסף רוזן''', '''ניל וקסלר''', '''עדן קופרווסר'''
===תיקון לתרגיל 7===
*שימו לב לגרסא האחרונה לתרגיל 7. יש ערך מוחלט סביב <math>|detT|</math> בשאלה 1.b
*שימו לב לגרסא הפוסט-אחרונה לתרגיל 7. וקטור האפס בשאלה 3.a הוא עם 2 קואורדינטות ולא 3
*שימו לב לגרסא הפוסט-אחרונה-חביבה לתרגיל 7. בשאלה 2 אתם נדרשים לחשב נפח של פוליטופ ולא סתם פוליטופ...
===תיקון/השלמה שנייה לתרגיל, - לתלמידי כל המתרגלים===בתרגיל הראנו שכל מטריצה <math>A</math> ששומרת נורמה שומרת מכפלה פנימית מעל הממשים. כלומר אם <math>\forall v \in V:||Av||=||v||</math> אזי גם <math>\forall v,w \in V: <Av,Aw>=<v,w></math>.
<math>A</math> לכסינה <math>\iff</math> הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה <math>m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)</math> עבור <math>\lambda_1,...,\lambda_k</math> הע"ע השונים של <math>A</math>
'''הוכחה[[קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי|פתרון]]''':
<math>A</math> שומרת נורמה ולכן <math>\forall v \in V:||Av||=||v||</math>, ניקח <math>v=w+u</math> אזי <math>||A(u+w)||=||u+w||</math> ולכן <math>||A(u+w)||^2=||u+w||^2</math> ולכן <math><A(u+w),A(u+w)>=<u+w,u+w></math>, ולכן <math><Au+Aw,Au+Aw>=<u+w,u+w></math>. נפתח את שני הצדדים לקבל:
=== תיקון/השלמה לתרגיל - לתלמידי כל המתרגלים ===
יהיה <math>V</math> ממ"פ ממימד <math>n</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...v_n \in V</math>. נגדיר את מטריצת גרהם <math>A</math> ע"י <math>a_{ij}=<v_i,v_j></math>. הוכח:
:<math><Auv_1,Au>+<Aw,Aw>+<Au,Aw>+<Aw,Au>...v_n\iff |A|=0</math>ת"ל
:<math>=<u,u>+<w,w>+<u,w>+<w,u></math> '''[[פתרון לתרגיל 1.8 בחוברת לינארית|פתרון]]'''
=== בוחן בקורס: ביום ג' שאחרי חנוכה ===
אבל מעל הממשיים המכפלה הפנימית היא סימטרית ולכן:ביום ג', 22 דצמבר, בשעה שלש וחצי (במקום ההרצאה) ייערך בוחן על כל החומר שיילמדעד חנוכה.
<math><Au'''איפה הבוחן?''' בניין 501,Au>+<Awחדר 160 (אולם הספורט לשעבר,Aw>+2<Au,Aw>=<u,u>+<w,w>+2<u,w></math>הכניסה ליד מגרש הספורט).
<math>||Au||^2+||Aw||^2+2<Au'''מה ללמוד לבוחן?''' מה שלמדנו בהרצאה ובתרגיל,Aw>=||u||^2+||w||^2+2<uעד חנוכה.(בחנוכה אין לימודים בקורס שלנו.) זה כולל הגדרות,w></math>ניסוח מדוייק והוכחות משפטים, משפטונים (שמשפטונים אפשר להוכיח גם כשלא זוכרים את ההוכחה מהכתה), ויכולת פתרון תרגילים ברמת קושי דומה לתרגילי הבית.
<math>A</math> שומרת על נורמה ולכן אפשר לצמצם ולקבלמטרות הבוחן:
<math>2<Au1. הבאת ההתלמיד להבנה טובה של החומר שנלמד עד שלב זה,Aw>=2<u,w></math>שתאפשר לו להתמודד עםהמשך הקורס בצורה טובה.
נחלק ב2 לקבל 2. נקודת ביקורת, שבה התלמיד מעריך את שרצינוהידע והטכניקה הנוכחיים, במטרה לראות האם עליולשפרם בצורה משמעותית לקראת המבחן.
'''מתי כדאי ללמוד לבוחן?'''
מי שפנוי לכך בימי החנוכה, זה הזמן המומלץ ביותר.
מי שלא, יכול ללמוד עד חנוכה, ולרענן את זכרונו מיום ראשון עד יום שלישי.
'''הוכחה מעל המרוכביםואם יהיו לנו שאלות?''':ד"ר צבאן יעביר בהתנדבות שיעור ביום חמישי שחל בחנוכה (17 דצמבר), בשעותשתיים עד ארבע, '''בניין 105, חדר 106'''. השיעור הוא רשות, מיועד רק למי שיש לו שאלות או רוצה לשמועתשובות לשאלות של האחרים, ופתוח לתלמידי שתי הקבוצות.
כעת'''מה משקל הבוחן בציון הסופי?''' הבוחן הוא עשר אחוזים מהציון הסופי.למשל, אם אנחנו מעל המרוכביםמי שיקבל חמישים בבוחן, המכפלה הפנימית אינה סימטרית אלא הרמיטית. ולכן השיוויון ציונו הסופי יהיה:לכל היותר (בהנחה ששיפר את יכולותיו עד המבחן) תשעים וחמש.
<math><Au'''ואם איני יכול להגיע לבוחן מסיבה מוצדקת?''' כעיקרון,Aw>+\overline{<Auאין הרבה סיבות מוצדקותלהיעדר מהבוחן. במקרים מאד חריגים (שאנו מקוים שלא יהיו),Aw>}=<uומגובים על ידי מסמכיםרשמיים,w>+\overline{<uננסה לטפל בצורה פרטנית. לא מובטח שהפתרון למקרים כאלה יהיה אופטימלי,w>}</math>אךנעשה כמיטב יכלתנו לפתור את הבעיה לפחות חלקית.
ולכן <math>2Re(<Au,Aw>)=2Re(<u,w>)</math>== השלמה לקבוצה של ד"ר צבאן ===החלק החסר מההוכחה בסוף השיעור.
נותר להוכיח שיוויון גם עבור החלק המדומה. ניקח <math>v=u+iw</math> ונקבל:(לקריאה עצמית על ידי התלמיד)
<math><Au+iAw,Au+iAw>=<Au,Au>+<iAw,iAw>+<Au,iAw>+<iAw,Au></math>'''[[מדיה:DiagThm.pdf|הורד קובץ]]'''
<math>=<Au,Au>+i\overline{i}<Aw,Aw>+\overline{i}<Au,Aw>+i<Aw,Au></math>== אלגוריתם לשילוש מטריצה ===ניתן לקרוא בחוברת בעמוד 88: משפט השילוש ושאלה 4.2. בנוסף אפשר לקרוא בדף ה[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע|שאלות ותשובות]]
<math>=<Au,Au>+<Aw,Aw>-i<Au,Aw>+i\cdot\overline{<Au,Aw>}</math>
<math>=<Au,Au>+<Aw,Aw>-i<Au,Aw>-\overline{i<Au,Aw>}</math>== דוגמא לליכסון מטריצה ==='''[[מדיה:AdiDiag.pdf|הורד קובץ]]'''
<math>=||Au||^2+||Aw||^2-2Re(i<Au,Aw>)</math>'''הערה:''' שימו לב שעמודות המטריצה M הינן וקטורים עצמיים של המטריצה המהווים בסיס.
<math>=||Au||^2+||Aw||^2+2Im(<Au,Aw>)</math>== הוכחת משפט לפלס ===
וע"י פיתוח הצד השני נקבל את השיוויון עבור החלק המדומה, וסה"כ נקבל <math><Au,Aw>=<u,w></math>(לקריאה עצמית על ידי התלמיד)
===שימו לב'''[[מדיה: תרגיל 8===הוספנו את תרגיל 8, תרגיל יחסית קליל על מנת להשאיר זמן ללמוד לבוחןMinors.pdf|הורד קובץ]]'''
===שימו לב: תרגיל 10השלמה להרצאה ===שימו לב לתוספת שאלה 6 בתרגיל 10דוגמא יפה שמראה שלכל פולינום מתוקן, יש מטריצה שהוא הפולינום האפייני שלה. (לקריאה עצמית על ידי התלמיד) '''[[מדיה:CompanionCharPoly.pdf|הורד קובץ]]'''
