הבדלים בין גרסאות בדף "ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"

גרסה אחרונה מ־10:39, 5 בינואר 2013

חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)

הערה: בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, $V$ הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb{F}$ , וכן $dim V=n$ . בנוסף, $A\in M_n (\mathbb{F})$ .

הגדרה:

העתקה לינארית $T:V\rightarrow V$ (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.

הגדרה:

תהי $A\in M_n (\mathbb{F})$ . אומרים ש- $\lambda\in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי (ע"ע) של $A$ אם קיים וקטור $0\neq v\in\mathbb{F}^n$ שעבורו $Av=\lambda v$ . הוקטור $v$ נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של $A$ הקשור ל- $\lambda$ .

הגדרה:

אוסף כל הע"ע של $A$ נקרא הספקטרום של $A$ , ומסומן $spec(A)$ .

הערה: יכול להיות המצב $spec(A)=\varnothing$ .

משפט:

$\lambda=0$ הוא ע"ע של $A$ אם ורק אם $A$ אינה הפיכה.

הערה: $A$ אינה הפיכה אם ורק אם $det(A)=0$ .

משפט:

$\lambda\in\mathbb{F}$ הוא ע"ע של מטריצה $A\in M_n (\mathbb{F})$ אם ורק אם $det(\lambda I-A)=0$ .

דוגמה למציאת ע"ע:

$A=I_n$ .

שיטה ראשונה: $I_n v=\lambda v$ $\Leftarrow$ $v=\lambda v$ $\Leftarrow$ $\lambda=1$ $\Leftarrow$ $spec(A)=\left \{1 \right \}$ .

שיטה שנייה: לפי המשפט. $\lambda I_n-I_n=\begin{pmatrix} \lambda-1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda-1 \end{pmatrix}$ , כלומר $det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n$ , ומכאן $(\lambda-1)^n=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda=1$ .

הגדרה:

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. אומרים ש- $\lambda\in\mathbb{F}$ הוא ע"ע של $T$ אם קיים וקטור $0\neq v\in\mathbb{F}^n$ שעבורו $Tv=T(v)=\lambda v$ . הוקטור $v$ נקרא ו"ע של $T$ הקשור ל- $\lambda$ .

משפט:

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, יהי $B$ בסיס של $V$ ותהי $A=[T]_B$ המטריצה המייצגת של $T$ יחסית לבסיס $B$ . אזי אם $\lambda\in\mathbb{F}$ הוא ע"ע של $T$ , אז $\lambda$ הוא גם ע"ע של $A$ .

אלגוריתם לחיפוש ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$ :

1. נבחר בסיס $B$ של $V$ .

2. נחשב את המטריצה המייצגת $A$ .

3. נרכיב את המשוואה $det(\lambda I-A)=0$ . זוהי משוואה ממעלה $n$ עם משתנה יחיד $\lambda$ .

4. נחפש פתרונות $\lambda_1,...,\lambda_s$ , שהם הע"ע של $T$ .

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''הערה:'''
+חזרה ל[[סיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)]]
+''הערה:''
 בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, <math>V</math> הוא מרחב וקטורי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>, וכן <math>dim V=n</math>.
+בנוסף, <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>.
@@ שורה 11: / שורה 14: @@
 '''הגדרה:'''
-תהי <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ערך עצמי של <math>A</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Av=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא וקטור עצמי של <math>A</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>.
+תהי <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ערך עצמי (ע"ע) של <math>A</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Av=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של <math>A</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>.
 '''הגדרה:'''
-אוסף כל הערכים העצמיים של <math>A</math> נקרא הספקטרום של <math>A</math>, ומסומן <math>spec(A)</math>.
+אוסף כל הע"ע של <math>A</math> נקרא הספקטרום של <math>A</math>, ומסומן <math>spec(A)</math>.
+''הערה:''
+יכול להיות המצב <math>spec(A)=\varnothing</math>.
+'''משפט:'''
+<math>\lambda=0</math> הוא ע"ע של <math>A</math> אם ורק אם <math>A</math> אינה הפיכה.
+''הערה:''
+<math>A</math> אינה הפיכה אם ורק אם <math>det(A)=0</math>.
+'''משפט:'''
+<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של מטריצה <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math> אם ורק אם <math>det(\lambda I-A)=0</math>.
+'''דוגמה למציאת ע"ע:'''
+'' <math>A=I_n</math>.''
+שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)=\left \{1  \right \}</math>.
+שיטה שנייה: לפי המשפט.
+<math>\lambda I_n-I_n=\begin{pmatrix}
+\lambda-1 &  &0 \\
+ & \ddots  & \\
+&  & \lambda-1
+\end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(\lambda-1)^n=0</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>.
+'''הגדרה:'''
+יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Tv=T(v)=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא ו"ע של <math>T</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>.
+'''משפט:'''
+יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי, יהי <math>B</math> בסיס של <math>V</math> ותהי <math>A=[T]_B</math> המטריצה המייצגת של <math>T</math> יחסית לבסיס <math>B</math>. אזי אם <math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math>, אז <math>\lambda</math> הוא גם ע"ע של <math>A</math>.
+'''אלגוריתם לחיפוש ע"ע של אופרטור לינארי <math>T:V\rightarrow V</math>:'''
+. נבחר בסיס <math>B</math> של <math>V</math>.
+. נחשב את המטריצה המייצגת <math>A</math>.
+. נרכיב את המשוואה <math>det(\lambda I-A)=0</math>. זוהי משוואה ממעלה <math>n</math> עם משתנה יחיד <math>\lambda</math>.
+. נחפש פתרונות <math>\lambda_1,...,\lambda_s</math>, שהם הע"ע של <math>T</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"

גרסה אחרונה מ־10:39, 5 בינואר 2013

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים