שינויים

כיוון כיון שכפל וחיבור הן פעולות שקל לחשבן, פולינומים הן פונקציות שקל לחשבן את ערכן בכל נקודה. לכן, בהנתן פונקציה כללית <math>f</math> , היינו שמחים למצוא פולינום קרוב אליה. כלומר, היינו רוצים למצוא פולינום <math>p </math> כך שהשארית ::<math>R(x)=f(x)-p(x)</math> תהא "מינימלית". שימו לב כי הגדרת המינמליות תלוייה המינימליות תלויה בצורך. לדוגמא ייתכן , יתכן ונרצה כי השארית תהא חסומה על כל הממשיים או תשאף לאפס בנקודה מסויימת.

 '''פולינום טיילור סביב נקודה <math>a</math>''' מדרגה <math>n הינו </math> הנו פולינום מהצורה: ::<math> P_n(x)=\sum_{ik=0}^n\frac{f^{(ik)}(a)}{ik!}(x-a)^i</math> כאשר <math>f^{(n)}</math> היא הנגזרת ה-<math>n </math> של <math>f</math> .

שימו לב שבאופן ברור מההגדרה קיום פולינום טיילור מדרגה <math>n </math> דורש שהפונקציה תהא גזירה לפחות <math>n </math> פעמים בנקודה <math>a</math> . אנחנו נראה מיד שעל -מנת להעריך את השגיאה של הפולינום נדרוש כי הפונקציה תהא גזירה '''לפחות <math>n+1</math>''' פעמים '''באיזורבאזור''' הנקודה <math>a</math> .