הבדלים בין גרסאות בדף "פולינום מינימלי"

גרסה מ־07:46, 13 בנובמבר 2012

תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן $m_A(x)$ הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים

m_A(A)=0

הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ , כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הינו אחד.

לכל פולינום f כך ש $f(A)=0$ מתקיים $m_A(x)|f(x)$ . בפרט ממשפט קיילי-המילטון נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני

לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
- מסקנה: על מנת לחשב את הפולינום האופייני, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה

הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי

הוכחה.

ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום f ותהיינה מטריצות דומות A,B אזי גם המטריצות $f(A),f(B)$ דומות.

אכן, נסמן $f(x)=a_nx^n+...+a_0$ ונסמן $A=P^{-1}BP$ . לכן:

f(A)=f(P^{-1}BP)=a_n(P^{-1}BP)^n+...+a_0I = a_nP^{-1}B^nP+...+a_0P^{-1}P = P^{-1}f(B)P

מסקנה: נניח A,B מטריצות דומות, אזי לכל פולינום f מתקיים $f(A)=0$ אם"ם $f(B)=0$ .

אכן, המטריצה היחידה הדומה למטריצת האפס הינה מטריצת האפס עצמה. כיוון ש $f(A),f(B)$ דומות, המסקנה נובעת.

בסה"כ, כיוון שהפולינומים המאפסים מטריצות דומות הם אותם פולינומים, בפרט המינימלי המתוקן מבינהם הוא אותו אחד.

תהי A ריבועית כך שהפולינום המינמלי שלה הינו

m_A(x)=(x-1)^2

יהא $f(x)=x^2+4x+3$ , הוכח כי המטריצה $f(A)$ הפיכה.

פתרון.

$f(A)=A^2+4A+3I = (A-I)^2+6A+2I = 6A+2I$

כעת, נוכיח כי $|f(A)|\neq 0$ ולכן המטריצה הפיכה.

נניח בשלילה כי $|f(A)|= 0$ לכן $|6A+2I|=0$ ולכן $|A-\frac{-2}{6}I|=0$

אם כן, $\frac{-2}{6}$ הוא ע"ע של המטריצה A, אבל הוא אינו שורש של הפולינום המינימלי הנתון, בסתירה.

@@ שורה 38: / שורה 38: @@
 ===ב===
+תהי A ריבועית כך שהפולינום המינמלי שלה הינו
+:<math>m_A(x)=(x-1)^2</math>
+יהא <math>f(x)=x^2+4x+3</math>, הוכח כי המטריצה <math>f(A)</math> הפיכה.
+'''פתרון.'''
+<math>f(A)=A^2+4A+3I = (A-I)^2+6A+2I = 6A+2I</math>
+כעת, נוכיח כי <math>|f(A)|\neq 0</math> ולכן המטריצה הפיכה.
+נניח בשלילה כי <math>|f(A)|= 0</math> לכן <math>|6A+2I|=0</math> ולכן <math>|A-\frac{-2}{6}I|=0</math>
+אם כן, <math>\frac{-2}{6}</math> הוא ע"ע של המטריצה A, אבל הוא אינו שורש של הפולינום המינימלי הנתון, בסתירה.
+===ג===