שינויים
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
==הגדרה==
תהי <math>A </math> מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן <math>m_A(x)</math> הפולינום המינימלי של <math>A</math> הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים::<math>m_A(A)=0</math> הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה <math>x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...\cdots+a_1x+a_0</math>, כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הינו אחדהנו 1.
==תכונות==
*לכל פולינום <math>f כך ש </math> עבורו <math>f(A)=0</math> מתקיים <math>m_A(x)|f(x)</math>. בפרט מ[[משפט קיילי-המילטון]] נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקיםאי־פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.**מסקנה: על מנת על־מנת לחשב את הפולינום האופייניהמינימלי, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים האי־פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה
==תרגילים==
===א===
הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי
'''הוכחה.'''
ראשית נשים לב לעובדה הבאה- – יהי פולינום <math>f </math> ותהיינה מטריצות דומות <math>A,B </math> אזי גם המטריצות <math>f(A),f(B)</math> דומות.
אכן, נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math> ונסמן <math>A=P^{-1}BP</math>. לכן:
===ד===
מצא את הפולינום המינימלי של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}</math>
'''פתרון.'''
<math>p_A(x) = (x-1)^2(x-2)</math>
לכן שתי האפשרויות היחידות לפולינום המינימלי הן:
::<math>(x-1)(x-2)</math>
::<math>(x-1)^2(x-2)</math>
נציב את המטריצה באופציה הראשונה (מדרגה נמוכה יותר) לגלות שאכן פולינום זה מאפס את המטריצה ולכן
::<math>m_A(x)=(x-1)(x-2)</math>
===ה===
הוכח כי הפולינום המינימלי של מטריצת הבלוקים <math>A\oplus B = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}</math> הוא המכפלה המשותפת המינימלית של הפולינומים <math>lcm(m_A(x),m_B(x))</math>
'''הוכחה.'''
ראשית נשים לב כי לכל פולינום f מתקיים:
::<math>f(A\oplus B)= f(A)\oplus f(B)</math> (זה תרגיל קל בכפל מטריצות בלוקים).
לכן, אם <math>f(A\oplus B)=0</math> אזי <math>f(A)=0</math> וגם <math>f(B)=0</math>.
לכן, <math>m_A(x)|f(x)</math> וגם <math>m_B(x)|f(x)</math>, כלומר f הוא כפולה משותפת של <math>m_A(x),m_B(x)</math>.
בכיוון ההפוך, כל כפולה משותפת של הפולינומים המינימליים תאפס את מטריצת הבלוקים.
ביחד, הפולינומים המאפסים את מטריצת הבלוקים הם בדיוק הכפולות המשותפות של הפולינומים המינימליים, ואנו מחפשים את המינימלי מבין כל הכפולות המשותפות.
