פולינום מינימלי

הגדרה

תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן $m_A(x)$ הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים

$m_A(A)=0$

הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$, כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הינו אחד.

תכונות

• לכל פולינום f כך ש $f(A)=0$ מתקיים $m_A(x)|f(x)$. בפרט ממשפט קיילי-המילטון נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני

• לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.