===ג===
תהי A מטריצה אידמפוטנטית, כלומר <math>A^2=A</math>
1. מהן האפשרויות לפולינום המינימלי של A ולע"ע של A?
2. הוכח כי הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים לינאריים
3. מהן האפשרויות עבור <math>tr(A)</math>?
'''פתרון.'''
1. השיוויון <math>A^2=A</math> שקול לכך שהפולינום <math>f(x)=x^2-x=x(x-1)</math> מאפס את המטריצה A.
כיוון שהפולינום המינימלי מחלק כל פולינום המאפס את המטריצה, האפשרויות לפולינום המינימלי הן:
:<math>f_2=x</math>
:<math>f_1=x-1</math>
:<math>f_3=x(x-1)</math>
בהתאם הע"ע לכן יכולים להיות 0, 1 או שניהם יחד.
2. כיוון שהגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני מופיעים בפולינום המינימלי, ומכיוון שהפולינום המינימלי כאן מכיל רק גורמים לינאריים, הפולינום האופייני חייב להתפרק לגורמים לינאריים.
3. כיוון שהפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים, המטריצה ניתנת לשילוש. כיוון שלמטריצות דומות אותו trace, נובע שהtrace של מטריצה ניתנת לשילוש הוא סכום הע"ע כולל חזרות (הרי הם מופיעים על האלכסון של הצורה המשולשית).
ביחד, האפשרויות לtrace הן כל מספר טבעי בין 0 לבין n, כתלות בריבוי האלגברי של הע"ע 1. קל למצוא דוגמאות שכל ערך כזה אכן מתקבל.
===ד===