שינויים

פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> אם <math>|x-y|<\delta</math> אז <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\varepsilon</math> . תכונה זו גוררת [[משפטים/אינפיפונקציה רציפה|חזרה למשפטים באינפירציפות]]של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.

תהי <math>f </math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות ::<math>|x_n-y_n|\rightarrow to 0</math> ::<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\rightarrow to 0</math>  לכן קיימת תת -סדרה כך ש:-::<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\rightarrow to a \neq ne 0</math>  (זוהי תת -הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה אפס 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

 ::<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math> 

אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש-:<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.

[[קטגוריה::<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.אינפי]]