שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציה רציפה במידה שווה

נוספו 24 בתים, 05:16, 19 ביוני 2017
פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I </math> אם לכל <math>\ \epsilonvarepsilon>0</math> קיים <math>\ \delta > 0</math> כך שלכל <math>x,y בקטע, \in I</math> אם <math>\ |x-y|<\delta</math> אז <math>\ Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilonvarepsilon</math>. תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך -כלל היא חזקה יותר. 
==משפט==
===הוכחה===
תהי <math>f </math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות ::<math>|x_n-y_n|\rightarrow to 0</math> ::<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\rightarrow to 0</math>  לכן קיימת תת -סדרה כך ש:-::<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\rightarrow to a \neq ne 0</math>  (זוהי תת -הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה אפס 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).
נובע מכאן כי הסדרה
 ::<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math> 
אינה חסומה.
אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש- ::<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math> 
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.
[[קטגוריה:אינפי]]
226
עריכות