הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציה רציפה במידה שווה"

גרסה מ־01:09, 15 בפברואר 2012

פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע I אם לכל $\ \epsilon>0$ קיים $\ \delta > 0$ כך שלכל x,y בקטע, אם $\ |x-y|<\delta$ אז $\ |f(x)-f(y)|<\epsilon$ . תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.

משפט

פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

הוכחה

תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות $x_n,y_n$ בקטע המקיימות

|x_n-y_n|\rightarrow 0

|f(x_n)-f(y_n)|\not\rightarrow 0

לכן קיימת תת סדרה כך ש:

|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})|\rightarrow a \neq 0

(זוהי תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה אפס סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה

\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}

אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז, קיימות נקודות $c_{n_k}$ בין $x_{n_k},y_{n_k}$ כך ש

f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}

ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]
+פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע I אם לכל <math>\ \epsilon>0</math> קיים <math>\ \delta > 0</math> כך שלכל x,y בקטע, אם <math>\ |x-y|<\delta</math> אז <math>\ |f(x)-f(y)|<\epsilon</math>. תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.
 ==משפט==
@@ שורה 29: / שורה 30: @@
 ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.
+[[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציה רציפה במידה שווה"

גרסה מ־01:09, 15 בפברואר 2012

משפט

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים