שינויים

פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע I אם לכל <math>\ \epsilon>0</math> קיים <math>\ \delta > 0</math> כך שלכל <math>x,y </math> בקטע, אם <math>\ |x-y|<\delta</math> אז <math>\ Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon</math>. תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.

תהי <math>f </math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות

::<math>|x_n-y_n|\rightarrow to 0</math>

::<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\rightarrow to 0</math>

לכן קיימת תת -סדרה כך ש:-

::<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\rightarrow to a \neq ne 0</math>

(זוהי תת -הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה אפס <math>0</math> סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

::<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>

אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש-

::<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>