פונקציה רציפה במידה שווה

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־17:23, 2 בפברואר 2012 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==משפט== פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו...")

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למשפטים באינפי

משפט

פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

הוכחה

תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות x_n,y_n בקטע המקיימות

|x_n-y_n|\rightarrow 0
|f(x_n)-f(y_n)|\not\rightarrow 0


לכן קיימת תת סדרה כך ש:

|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})|\rightarrow a \neq 0

(זוהי תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה אפס סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה

\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}

אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז, קיימות נקודות c_{n_k} בין x_{n_k},y_{n_k} כך ש

f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}

ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.