:<math>a^b = e^{b\ln (a)}</math>
כאשר <math>\ln</math> היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט <math>e^x:\mathbb{R}\to (0,\mathbb{R}infty)</math> הפיכה.)
שימו לב שחזקה שלימה טבעית של מספר מוגדרת באופן הרגיל כמכפלת המספר בעצמו מספר פעמים, אנחנו משתמשים בזה בטור ה"חזקות".
==כפל אקספוננטים==
:<math>(a_0+a_1+a_2+...)(b_0+b_1+b_2+...)=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+...</math>
סידרנו כאן את הזוגות לפי סכום האינדקסים שלהם; קודם כל המכפלה בה סכום האינדקסים הוא אפס, לאחר מכן שתי המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא שתייםאחד, ואז שלוש המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא שלוש שתיים וכן הלאה.
בכתיב מדוייק אנחנו רוצים לטעון כי
בסה"כ, לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>e^x>0</math>
===חזקות טבעיות===
לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>n=1+1+...+1</math> הוא סכום של n אחדות. לכן:
:<math>e^n =e^{1+1+...+1}=e^1\cdot e^1 \cdots e^1=(e)^n</math>
כלומר פונקצית האקספוננט בn באמת שווה לe בחזקה הטבעית n.
===חזקות רציונאליות===
בעזרת חקירת פונקציות (מונוטונית וערך הביניים) ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי חיובי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ולכל <math>0<n\in\mathbb{N}</math> קיים פתרון יחיד למשוואה <math>x^n=a</math> ואנחנו מגדירים פתרון זה להיות <math>\sqrt[n]{a}</math>.
כעת, אני מעוניין להוכיח כי <math>e^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{e}</math>
אכן, אם נעלה מספר זה בחזקה הטבעית n נקבל כי
:<math>\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n = e^{\frac{1}{n}}\cdot e^{\frac{1}{n}} \cdots e^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}}=e^{n\cdot \frac{1}{n}}=e^1=e </math>
כיוון שיש פתרון יחיד למשוואה <math>x^n=e</math>, אנחנו בטוחים שמצאנו את המספר הנכון.
באופן דומה ניתן להוכיח כי לכל <math>0<n,k\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי
:<math>e^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{e^n}=\left(\sqrt[k]{e}\right)^n</math>
==הנגזרת==
כיוון שפונקצית האקספוננט מוגדרת ע"י טור חזקות שמתכנס בכל המרוכבים, מותר לבצע גזירה איבר איבר
:<math>\left(e^x\right)'=\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^\infty n\cdot \frac{x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=e^x</math>
כלומר הנגזרת של פונקצית האקספוננט היא פונקצית האקספוננט עצמה! (אני בשוק.)
כיוון שראינו שפונקצית האקספוננט חיובית בערכים ממשיים, נובע שהיא מונוטונית עולה (ולכן חח"ע) בממשיים.
כיוון שהיא רציפה בממשיים (טור חזקות) והגבולות שלה באינסוף ומינוס אינסוף הם אינסוף ואפס בהתאמה (קל לחשב) ניתן לומר כי האקספוננט הפיכה מקבוצת הממשיים אל קבוצת הממשיים החיוביים.
נגדיר את פונקצית הלוגריתם <math>\ln:(0,\infty)\to\mathbb{R}</math> להיות ההופכית שלה.
==זהות אוילר==
בסרטון הבא ניתן לראות הוכחה לזהות אוילר <math>e^{ix}=cis(x)</math> המתבססת על ההגדרה שהצגנו כאן
<videoflash>KEnspLE5278</videoflash>