שינויים
/* הוכחה */
בכתיב מדוייק אנחנו רוצים לטעון כי
:<math>\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right)</math>
מסתבר שאם שני הטורים <math>\sum a_n, \sum b_n</math> מתכנסים בהחלט זה באמת נכון. (אולי אוסיף הוכחה בהמשך?)
לכן, כיוון שטור האקספוננט מתכנס בהחלט בכל המרוכבים, לכל <math>x,y\in\mathbb{C}</math> מתקיים כי
:<math>e^x\cdot e^y =\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right)
=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}\right)
</math>
כעת הביטוי מזכיר לנו את מקדמי הבינום <math>{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math>.
נשתמש בשיטת WIN - Wouldn't it be nice ונכפול ונחלק ב <math>n!</math> ונקבל:
:<math>e^x\cdot e^y =\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k y^{n-k}\right)</math>
אבל זו בדיוק נוסחאת הבינום של ניוטון!
ולכן נקבל כי
:<math>e^x\cdot e^y = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n!} =e^{x+y}</math>
בדיוק כפי שרצינו.
