הבדלים בין גרסאות בדף "פונקצית האקספוננט"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(הופכי)
(קשר לפעולת החזקה)
שורה 111: שורה 111:
  
 
בסה"כ, לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>e^x>0</math>
 
בסה"כ, לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>e^x>0</math>
 +
 +
 +
===חזקות טבעיות===
 +
 +
לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>n=1+1+...+1</math> הוא סכום של n אחדות. לכן:
 +
 +
:<math>e^n =e^{1+1+...+1}=e^1\cdot e^1 \cdots e^1=(e)^n</math>
 +
 +
כלומר פונקצית האקספוננט בn באמת שווה לe בחזקה הטבעית n.
 +
 +
 +
===חזקות רציונאליות===
 +
 +
מחקירת פונקציות ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי חיובי <math>0<x\in\mathbb{R}</math>

גרסה מ־19:32, 20 ביוני 2021

בערך זה נגדיר את פונקצית האקספוננט ונוכיח תכונות חשובות שלה.

אמנם יש דרכים אחרות להגדיר את e וחזקות של מספרים, אנחנו נציג גרסא מבוססת על כלים מתקדמים (טורי חזקות) המתאימה גם לשדה המספרים המרוכבים.


הגדרת פונקצית האקספוננט

לכל x\in\mathbb{C} נגדיר את פונקצית האקספוננט

e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

(קל לוודא כי טור החזקות הנ"ל מתכנס בכל שדה המרוכבים.)


נגדיר את המספר e להיות

e^1 =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}

נשים לב כי

e^0=\sum_{n=0}^\infty \frac{0^n}{n!}=1

כן כן, 0^0=1, אני הרגע אמרתי את זה.


הקוראים עשויים להזדעק ולומר שהסימון e^x שמור לחזקה של שני מספרים; ובכן, אנחנו נגדיר חזקה של שני מספרים באמצעות האקספוננט ונוכיח את התכונות המוכרות של פעולת החזקה.

כלומר נגדיר לכל a,b\in\mathbb{R} כך ש a>0 כי

a^b = e^{b\ln (a)}

כאשר \ln היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט e^x:\mathbb{R}\to \mathbb{R} הפיכה.)

שימו לב שחזקה שלימה של מספר מוגדרת באופן הרגיל כמכפלת המספר בעצמו מספר פעמים, אנחנו משתמשים בזה בטור ה"חזקות".

כפל אקספוננטים

אחת התכונות הבסיסיות והחשובות ביותר של האקספוננט היא שלכל x,y\in\mathbb{C} מתקיים כי

e^x\cdot e^y = e^{x+y}

כיוון שעדיין לא הגדרנו חזקות, בוודאי לא ניתן להשתמש בחוקי חזקות על מנת להוכיח תכונה זו.

עלינו להוכיח אותה ישירות על ידי ההגדרה של האקספוננט כטור חזקות.

הוכחה

ראשית נשים לב כי בנוסחא שאנחנו מוכיחים יש מכפלה של טורים

e^x\cdot e^y =\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right)

כיצד ניתן להכפיל שני טורים?

באופן אינטואיטיבי, בהתאם לחוק הפילוג, אנחנו מצפים שהמכפלה תהיה סכום כל הדרכים לכפול איבר מהטור השמאלי, באיבר מהטור הימני.

אך באיזה סדר נסכום את מכפלות הזוגות?

אנחנו היינו רוצים לומר למשל כי

(a_0+a_1+a_2+...)(b_0+b_1+b_2+...)=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+...

סידרנו כאן את הזוגות לפי סכום האינדקסים שלהם; קודם כל המכפלה בה סכום האינדקסים הוא אפס, לאחר מכן שתי המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא שתיים, ואז שלוש המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא שלוש וכן הלאה.

בכתיב מדוייק אנחנו רוצים לטעון כי

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right)


מסתבר שאם שני הטורים \sum a_n, \sum b_n מתכנסים בהחלט זה באמת נכון. (אולי אוסיף הוכחה בהמשך?)


לכן, כיוון שטור האקספוננט מתכנס בהחלט בכל המרוכבים, לכל x,y\in\mathbb{C} מתקיים כי

e^x\cdot e^y =\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right)
=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}\right)

כעת הביטוי מזכיר לנו את מקדמי הבינום {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.

נשתמש בשיטת WIN - Wouldn't it be nice ונכפול ונחלק ב n! ונקבל:

e^x\cdot e^y =\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k y^{n-k}\right)

אבל זו בדיוק נוסחאת הבינום של ניוטון!

ולכן נקבל כי

e^x\cdot e^y = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n!} =e^{x+y}

בדיוק כפי שרצינו.

קשר לפעולת החזקה

מהתכונה היסודית של כפל האקספוננטים ניתן להסיק לא מעט מתכונות החזקה המוכרות.

הופכי

לכל מספר x מתקיים כי

e^x\cdot e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1

לכן ההופכי של e^x הוא e^{-x}

או בשפת העם:

e^{-x} = \frac{1}{e^x}

(אגב שימו לב שנובע כי e^x\neq 0.)


חיוביות

לכל 0< x\in\mathbb{R} מתקיים כי e^x>0 כסכום של מספרים ממשיים חיוביים.

כיוון ש e^{-x}=\frac{1}{e^x} נובע כי גם e^{-x}>0

וכמובן שe^0=1>0

בסה"כ, לכל x\in\mathbb{R} מתקיים כי e^x>0


חזקות טבעיות

לכל n\in\mathbb{N} מתקיים כי n=1+1+...+1 הוא סכום של n אחדות. לכן:

e^n =e^{1+1+...+1}=e^1\cdot e^1 \cdots e^1=(e)^n

כלומר פונקצית האקספוננט בn באמת שווה לe בחזקה הטבעית n.


חזקות רציונאליות

מחקירת פונקציות ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי חיובי 0<x\in\mathbb{R}