פירוק פולינום

להלן מספר שיטות שיעזרו לנו לאורך הקורס בפירוק פולינומים או בקביעה האם הם ראשוניים.

(למתעניינים, קיימים אלגוריתמים לפירוק פולינומים מעל שדות סופיים ומעל הרחבות של הרציונליים. לא נגע בהם כאן.)

6 כללים\שיטות

(1) כל פולינום ממעלה 1 הוא אי פריק.

(2) פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא אי פריק אם ורק אם אין לו שורש.

דוגמא: $x^3+x+1$ אי פריק מעל $\mathbb{Z}_2$ כי אין לו שורשים בשדה.

(3) קריטריון אייזנשטיין:

יהי $C$ חוג חילופי ו-$P$ אידיאל ראשוני. יהי $f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\in C[x]$ כך ש:

א. $a_n\notin P$

ב. $a_i\in P$ לכל $0<i<n$

ג. $a_n\in P\setminus P^2$

אזי $f(x)$ אי פריק ב-$C[x]$.

לרוב משתמשים בקריטריון אייזנשטיין יחד עם הלמה של גאוס:

יהי $C$ תחום פריקות יחידה עם שדה שברים $F$ ו-$f(x)\in C[x]$ פולינום כך ש:

א. המחלק המשותף המקסימלי של מקדמי $f$ הוא 1.

ב. קיימים $g(x),h(x)\in F[x]$ כך ש-$f(x)=g(x)h(x)$.

אזי $g(x),h(x)\in C[x]$.

בפרט, נובע שפולינום $f(x)\in C[x]$ הוא אי פריק ב-$F[x]$ אם ורק אם הוא אי פריק ב-$C[x]$.

דוגמא: $2x^5+6x^4+9x+3$ אי פריק ב-$\mathbb{Q}[x]$. נשתמש בקריטריון אייזנשטיין עם $p=3$ כדי להראות שהפולינום אי-פריק ב-$\mathbb{Z}[x]$ ואז נשתמש בלמה של גאוס כדי להסיק שהפולינום אי פריק ב-$\mathbb{Q}[x]$.