הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"

גרסה מ־18:09, 4 בפברואר 2012

תוכן עניינים

1 שאלה 1
2 שאלה 2
3 שאלה 3
4 שאלה 4
5 שאלה 5

שאלה 1

(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי $f$ פונקצ' המוגדרת בסביבת $x_0$ . נניח כי $f$ גזירה ב- $x_0$ וגם $f'(x_0) \neq 0$ וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה $f^{-1}$ ורציפה בנקודה $y_0=f(x_0)$ . אזי $f^{-1}$ גזירה ב- $y_0$ , ונגזרתה שם שווה ל- $\frac{1}{f'(x_0)}$ .

הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- $x_0$ ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$ .

לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: $\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}$ .

לפי ההנחות $f^{-1}$ רציפה ב $y_0$ . לכן $\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0$ , ובאותו האופן $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}$ , ולכן בסך הכל קיבלנו ש-

$\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}$ זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.

שאלה 2

נגדיר פונ' $h$ על ידי $\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)$ . h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות. $h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2$ ואילו $h(0)=0f(0)=0$ ולכן לפי משפט ערך הביניים $\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1$ .

בנקודה זו מתקיים הדרוש - $h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0=\frac{1}{x_0}$ .

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי $f$ פונקצייה מוגדרת וגזירה $n+1$ פעמים בסביבה $S$ של $x_0$ . אז $\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ , כאשר $P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ .

ב)תהי $f(x)=x^3-4x^2+2x$ . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נעשה זאת בכל זאת:

@@ שורה 25: / שורה 25: @@
 ==שאלה 3==
-משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקצייה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>.
+א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקצייה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>.
+ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נעשה זאת בכל זאת:
 ==שאלה 4==
 ==שאלה 5==

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"

גרסה מ־18:09, 4 בפברואר 2012

תוכן עניינים

שאלה 1

שאלה 2

שאלה 3

שאלה 4

שאלה 5

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים