הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"

גרסה מ־19:44, 4 בפברואר 2012

תוכן עניינים

1 שאלה 1
2 שאלה 2
3 שאלה 3
4 שאלה 4
5 שאלה 5
6 שאלה 6

שאלה 1

(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי $f$ פונקצ' המוגדרת בסביבת $x_0$ . נניח כי $f$ גזירה ב- $x_0$ וגם $f'(x_0) \neq 0$ וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה $f^{-1}$ ורציפה בנקודה $y_0=f(x_0)$ . אזי $f^{-1}$ גזירה ב- $y_0$ , ונגזרתה שם שווה ל- $\frac{1}{f'(x_0)}$ .

הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- $x_0$ ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$ .

לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: $\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}$ .

לפי ההנחות $f^{-1}$ רציפה ב $y_0$ . לכן $\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0$ , ובאותו האופן $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}$ , ולכן בסך הכל קיבלנו ש-

$\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}$ זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.

שאלה 2

נגדיר פונ' $h$ על ידי $\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)$ . h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.

$h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2$ ואילו $h(0)=0f(0)=0$ ולכן לפי משפט ערך הביניים $\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1$ .

בנקודה זו מתקיים הדרוש - $h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0)=\frac{1}{x_0}$ . מש"ל.

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי $f$ פונקצייה מוגדרת וגזירה $n+1$ פעמים בסביבה $S$ של $x_0$ . אז $\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ , כאשר $P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ .

ב)תהי $f(x)=x^3-4x^2+2x$ . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

נחשב נגזרות - $f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2$

$f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8$

$f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6$

$f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0$

$P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+f''(2)(x-2)^2+f'''(2)(x-2)^3+0+0$

$=2^3-4*4+4+(3*4-8*2+2)(x-2)+(12-8)(x-2)^2+6(x-2)^3$

$P_5(x)=-4-2(x-2)+4(x-2)^2+6(x-2)^3$ , ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו. מתקיים $R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)$ ולכן השארית היא 0, כצפוי.

שאלה 4

באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf

שאלה 5

א) סדרה ממשית $\left \{ a_n\right \}^\infty$ תקרא סדרת קושי אם("ם): $\forall \epsilon >0 \exists N \in\mathbb{N}\forall m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}:(m>N \wedge n>N \rightarrow |a_m-a_n|<\epsilon )$

ב)ניקח את הסדרה $a_n$ שהאיבר ה- $n$ -י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של $\pi$ (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי). היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל $\pi$ , אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.

שאלה 6

השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

המהירות היא $v(t)=4-t^2$ ולכן האינטגרל הוא $x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C$ , ועם תנאי ההתחלה $x(0)=0$ נקבל $C=0$ .

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של $x(t)=4t-\frac{t^3}{3}$ בתחום $[0,3]$ .

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה $t=2$ . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3. $x(2)=8-8/3=5 \frac{1}{3}$ , $x(0)=0$ , $x(3)=12-9=3$ ולכן ההעתק המקסימלי הוא $5 \frac{1}{3}$ .

@@ שורה 32: / שורה 32: @@
 נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math>
-<math>f',(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8</math>
+<math>f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8</math>
+<math>f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6</math>
+<math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math>
+<math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+f''(2)(x-2)^2+f'''(2)(x-2)^3+0+0</math>
+<math>=2^3-4*4+4+(3*4-8*2+2)(x-2)+(12-8)(x-2)^2+6(x-2)^3</math>
+<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+4(x-2)^2+6(x-2)^3</math>, ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו. מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא 0, כצפוי.
 ==שאלה 4==

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"

גרסה מ־19:44, 4 בפברואר 2012

תוכן עניינים

שאלה 1

שאלה 2

שאלה 3

שאלה 4

שאלה 5

שאלה 6

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים