שינויים

פתרון אינפי 1, תש"נ

נוספו 956 בתים, 00:57, 9 בפברואר 2017
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )
==שאלה 2==
נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
<math>h(2)=2f(2)=שאלה 12\cdot1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0\in[0,2]:h(x)=1</math> .
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> גזירה בבנקודה זו מתקיים הדרוש -<math>h(x)=x_0</math> וגם <math>\cdot f'(x_0) =1\neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=to f(x_0)</math>. אזי <math>f^=\frac1{-1x_0}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- . <math>\frac{1}{f'(x_0)}blacksquare</math>.
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב==שאלה 3==א) משפט טיילור -תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים . אז <math>\lim_{forall x\rightarrow x_0in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(xk)-f}(x_0)}{x-x_0k!}=f'(x-x_0)^k</math>.
לפי כללי האריתמטיקה (חשבוןב) של גבולות, מתקיים: תהי <math>\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x^3-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}4x^2+2x</math>.אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
לפי ההנחות <math>f^{נחשב נגזרות -1}</math> רציפה ב<math>y_0</math>. לכן <math>\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}'(yx)=f^{-1}(y_0)=x_0</math>, ובאותו האופן <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x^3-x_0}{f(x4x^2+2x)-f(x_0)}'=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f3x^{2-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}8x+2</math>, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}''(yx)-f=(3x^{2-1}(y_08x+2)}{y'=6x-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}8</math>זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
<math>f^{(3)}(x)=(6x-8)'=שאלה 2==6</math>
נגדיר פונ' <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: hf^{(x4)=xf}(x)</math>. h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.<math>h(2)=2ff^{(25)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h}(0x)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>.
בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h\begin{align}P_5(x)&=x_0f\sum_{k=0}^5\frac{f^{(x_0k)}(2)}{k!}(x-2)^k=1f(2)+f'(2)(x-2)+\rightarrow frac{f''(x_02)}{2}(x-2)^2+\frac{f^{(3)}(2)}{6}(x-2)^3+0+0\\&=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{1(12-8)}{x_02}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3\\&=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3\end{align}</math>.
==שאלה 3==
א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקצייה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.
ב)תהי מתקיים <math>fR_{n+1}(x)=f(x^3)-4x^2+2xP_n(x)</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותרהשארית היא <math>0</math> , אבל נפתור בכל זאת:כצפוי.
נחשב נגזרות ==שאלה 4==הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>f'\pi</math> , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים (x'קופצים')=(x^3ב-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2<math>\pi</math>בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)
נימוק פורמלי: <math>f',(x+\pi)=x+\pi+\sin(3x^2-8x2x+2\pi)'=6x-8x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math>.
גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.
נגזור: <math>f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12</math>
<math>\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \or 2x=שאלה 4-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\iff x==באדיבות וולפראם: [[קובץ:\frac{\pi}{3}+\pi k\or x=-\frac{\pi}{3}+sin2x.pdf]]\pi k\ (k\in\N)</math>
זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
 
גרף באדיבות וולפראם: [[קובץ:x+sin2x.pdf]]
==שאלה 5==
א) סדרה ממשית <math>\{a_n\}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):
<math>\forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to |a_m-a_n|<\epsilon)</math>
 
ב) ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה- <math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- <math>n</math> של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי).
היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.
 
ג) נשים לב שהטור <math>\sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})</math>
==שאלה 6==
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math>, ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math>.
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math>.
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math>. לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3.<math>x(2)=8-8/3\frac83=5 \frac{1}{3}</math>frac13\ , <math>\ x(0)=0</math>\ , <math>\ x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5 \frac{1}{3}frac13</math>.
226
עריכות