[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )
==שאלה 1==
'''ביקשו בכלל את הנגזרת של <math>1/f</math> ולא של <math>f^{-1}</math>...'''
אני צריך ללמוד לקרוא.
בכל אופן, הוכחה למה שלא ביקשו:
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>.
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-<math>x_0</math> ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>.
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: <math>\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>.
לפי ההנחות <math>f^{-1}</math> רציפה ב<math>y_0</math>. לכן <math>\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0</math>, ובאותו האופן <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}</math>, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
<math>(\frac{1}{f})'(x_0)=-\frac{f'(x_0)}{f^2(x_0)}</math>
==שאלה 2==
נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
נגדיר פונ' <math>h(2)=2f(2)=2\cdot1=2</math> על ידי ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\forall x exists x_0\in [0,2]: h(x)=xf(x)1</math>. h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
<math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>. בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0fx_0\cdot f(x_0)=1\rightarrow to f(x_0)=\frac{1}frac1{x_0}</math>. מש"ל.<math>\blacksquare</math>
==שאלה 3==
א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math> .
א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקצייה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>. ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math>
<math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math>
<math>\begin{align}P_5(x)&=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''^{(3)}(2)}{6}(x-2)^3+0+0=</math> <math>\\&=2^3-4*4\cdot4+4+(3*4\cdot4-8*2\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3\\&=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3\end{align}</math>
<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math>,
ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.
מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא <math>0</math> , כצפוי.
==שאלה 4==
הפונקצייה הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>\pi</math>, ולכן הפונקצייה הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- <math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)
נימוק פורמלי:<math>f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math>.
גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.
נגזור: <math>f'(x)=1+2cos2\cos(2x)=0\Leftrightarrow iff \cos(2x)=-\frac{1}{2}frac12</math>
<math>\Leftrightarrow iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \, \vee or 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \Leftrightarrow iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee or x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \; (k \in \mathbb{N})</math>
זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנק' מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השנייה השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
גרף באדיבות וולפראם: [[קובץ:x+sin2x.pdf]]
==שאלה 5==
א) סדרה ממשית <math>\left \{ a_n\right \}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):<math>\forall \epsilon >0 \ ,\ \exists N \in\mathbb{N}\forall m,\in\mathbb{N} \forall m,n\in\mathbb{N}:(m>N \wedge n>N \rightarrow to |a_m-a_n|<\epsilon )</math>
ב)ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה-<math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-<math>n </math> של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי-רציונאלי).היא של רציונלייםרציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונלירציונאלי.
ג) נשים לב שהטור <math>Sigma \sum (a_na_{n+1\right } - a_n\right) = (-1)^(n)(frac{1}\frac1{2^n} + frac{1}\frac1{2^nnn\cdot n!})</math>
==שאלה 6==
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math>, ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math>.
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math>.
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math>. לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3.<math>x(2)=8-8/3\frac83=5 \frac{1}{3}</math>frac13\ , <math>\ x(0)=0</math>\ , <math>\ x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5 \frac{1}{3}frac13</math>.