הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==שאלה 1== טענה 7.8 אצל ד"ר שיין: תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> ...")
 
 
(24 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
==שאלה 1==
+
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 +
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )
  
−
טענה 7.8 אצל ד"ר שיין: תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי  <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>.
+
==שאלה 2==
 +
נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
  
−
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-<math>x_0</math> ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>.
+
<math>h(2)=2f(2)=2\cdot1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0\in[0,2]:h(x)=1</math> .
  
−
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: <math>\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>.
+
בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . <math>\blacksquare</math>
  
−
לפי ההנחות <math>f^{-1}</math> רצפיה ב<math>y_0</math>, ולכן הביטוי הנ"ל שווה גם ל
+
==שאלה 3==
 +
א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math> .
  
−
==שאלה 2==
+
ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math> . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
  
−
==שאלה 3==
+
נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math>
 +
 
 +
<math>f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8</math>
 +
 
 +
<math>f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6</math>
 +
 
 +
<math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math>
 +
 
 +
<math>\begin{align}P_5(x)&=\sum_{k=0}^5\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f^{(3)}(2)}{6}(x-2)^3+0+0\\&=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3\\&=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3\end{align}</math>
 +
 
 +
 
 +
ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.
 +
 
 +
מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא <math>0</math> , כצפוי.
  
 
==שאלה 4==
 
==שאלה 4==
 +
הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>\pi</math> , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- <math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)
 +
 +
נימוק פורמלי: <math>f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math> .
 +
 +
גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.
 +
 +
נגזור: <math>f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12</math>
 +
 +
<math>\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \or 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k\or x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\ (k\in\N)</math>
 +
 +
זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
 +
 +
גרף באדיבות וולפראם: [[קובץ:x+sin2x.pdf]]
  
 
==שאלה 5==
 
==שאלה 5==
 +
א) סדרה ממשית <math>\{a_n\}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):
 +
<math>\forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to |a_m-a_n|<\epsilon)</math>
 +
 +
ב) ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה- <math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- <math>n</math> של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי).
 +
היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.
 +
 +
ג) נשים לב שהטור <math>\sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})</math>
 +
 +
==שאלה 6==
 +
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
 +
 +
המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math> , ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math> .
 +
 +
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math> .
 +
 +
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math> . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3.
 +
<math>x(2)=8-\frac83=5\frac13\ ,\ x(0)=0\ ,\ x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5\frac13</math> .

גרסה אחרונה מ־00:57, 9 בפברואר 2017

(המבחן )

שאלה 2

נגדיר פונקציה h על-ידי \forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x) . h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.

h(2)=2f(2)=2\cdot1=2 ואילו h(0)=0f(0)=0 ולכן לפי משפט ערך הביניים \exists x_0\in[0,2]:h(x)=1 .

בנקודה זו מתקיים הדרוש - h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0} . \blacksquare

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי f פונקציה מוגדרת וגזירה n+1 פעמים בסביבה S של x_0 . אז \forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x) , כאשר P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k .

ב)תהי f(x)=x^3-4x^2+2x . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

נחשב נגזרות - f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2

f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8

f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6

f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0

\begin{align}P_5(x)&=\sum_{k=0}^5\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f^{(3)}(2)}{6}(x-2)^3+0+0\\&=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3\\&=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3\end{align}


ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

מתקיים R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x) ולכן השארית היא 0 , כצפוי.

שאלה 4

הפונקציה בכל מחזור \pi תעלה בדיוק ב- \pi , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- \pi בכל פעם של קטע בודד באורך \pi שלה. (ראו הגרף)

נימוק פורמלי: f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi .

גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.

נגזור: f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12

\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \or 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k\or x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\ (k\in\N)

זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf

שאלה 5

א) סדרה ממשית \{a_n\}^\infty תקרא סדרת קושי אם("ם): \forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to |a_m-a_n|<\epsilon)

ב) ניקח את הסדרה a_n שהאיבר ה- n-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- n של \pi (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי). היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל \pi, אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.

ג) נשים לב שהטור \sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})

שאלה 6

השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

המהירות היא v(t)=4-t^2 ולכן האינטגרל הוא x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C , ועם תנאי ההתחלה x(0)=0 נקבל C=0 .

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של x(t)=4t-\frac{t^3}{3} בתחום [0,3] .

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה t=2 . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3. x(2)=8-\frac83=5\frac13\ ,\ x(0)=0\ ,\ x(3)=12-9=3 ולכן ההעתק המקסימלי הוא 5\frac13 .

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_אינפי_1,_תש%22נ&oldid=70413