הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==שאלה 1== טענה 7.8 אצל ד"ר שיין: תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> ...")
 
שורה 1: שורה 1:
 +
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )
 +
 +
 
==שאלה 1==
 
==שאלה 1==
  
−
טענה 7.8 אצל ד"ר שיין: תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי  <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>.
+
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי  <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>.
  
 
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-<math>x_0</math> ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>.
 
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-<math>x_0</math> ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>.
שורה 7: שורה 10:
 
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: <math>\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>.
 
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: <math>\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>.
  
−
לפי ההנחות <math>f^{-1}</math> רצפיה ב<math>y_0</math>, ולכן הביטוי הנ"ל שווה גם ל
+
לפי ההנחות <math>f^{-1}</math> רציפה ב<math>y_0</math>. לכן <math>\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0</math>, ובאותו האופן <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}</math>, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
 +
 
 +
<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>
 +
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
  
 
==שאלה 2==
 
==שאלה 2==
 +
 +
נגדיר פונ' <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math>.
  
 
==שאלה 3==
 
==שאלה 3==

גרסה מ־13:09, 3 בפברואר 2012

(המבחן )


שאלה 1

(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי f פונקצ' המוגדרת בסביבת x_0. נניח כי f גזירה ב-x_0 וגם f'(x_0) \neq 0 וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה f^{-1} ורציפה בנקודה y_0=f(x_0). אזי f^{-1} גזירה ב-y_0 , ונגזרתה שם שווה ל- \frac{1}{f'(x_0)}.

הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-x_0 ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0).

לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: \frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}.

לפי ההנחות f^{-1} רציפה בy_0. לכן \lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0, ובאותו האופן \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-

\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)} זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.

שאלה 2

נגדיר פונ' h על ידי \forall x \in [0,2]: h(x)=f(x)-\frac{1}{x}.

שאלה 3

שאלה 4

שאלה 5

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_אינפי_1,_תש%22נ&oldid=19343