הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"

גרסה מ־19:18, 1 בפברואר 2016

(המבחן )

תוכן עניינים

1 שאלה 2
2 שאלה 3
3 שאלה 4
4 שאלה 5
5 שאלה 6

שאלה 2

נגדיר פונקציה $h$ על-ידי $\forall x \in [0,2]: h(x)=x\cdot f(x)$ . $h$ רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.

$h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2$ ואילו $h(0)=0f(0)=0$ ולכן לפי משפט ערך הביניים $\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1$ .

בנקודה זו מתקיים הדרוש - $h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}$ . מש"ל.

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי $f$ פונקציה מוגדרת וגזירה $n+1$ פעמים בסביבה $S$ של $x_0$ . אז $\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ , כאשר $P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ .

ב)תהי $f(x)=x^3-4x^2+2x$ . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

נחשב נגזרות - $f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2$

$f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8$

$f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6$

$f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0$

$P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=$

$=2^3-4\cdot 4+4+(3\cdot 4-8\cdot 2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac66(x-2)^3$

$P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3$ ,

ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

מתקיים $R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)$ ולכן השארית היא $0$ , כצפוי.

שאלה 4

הפונקציה בכל מחזור $\pi$ תעלה בדיוק ב- $\pi$ , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב $\pi$ בכל פעם של קטע בודד באורך $\pi$ שלה. (ראו הגרף)

נימוק פורמלי: $f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi$ .

גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.

נגזור: $f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12$

$\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \ (k\in\N)$

זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf

שאלה 5

א) סדרה ממשית $\{a_n\}^\infty$ תקרא סדרת קושי אם("ם): $\forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to |a_m-a_n|<\epsilon)$

ב) ניקח את הסדרה $a_n$ שהאיבר ה- $n$ -י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- $n$ של $\pi$ (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי). היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל $\pi$ , אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.

ג) נשים לב שהטור $\sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})$

שאלה 6

השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

המהירות היא $v(t)=4-t^2$ ולכן האינטגרל הוא $x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C$ , ועם תנאי ההתחלה $x(0)=0$ נקבל $C=0$ .

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של $x(t)=4t-\frac{t^3}{3}$ בתחום $[0,3]$ .

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה $t=2$ . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3. $x(2)=8-\frac83=5 \frac13$ , $x(0)=0$ , $x(3)=12-9=3$ ולכן ההעתק המקסימלי הוא $5 \frac13$ .

@@ שורה 4: / שורה 4: @@
 ==שאלה 2==
+נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=x\cdot f(x)</math> .
-נגדיר פונ' <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)</math>.
+<math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
-h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
 <math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>.
-בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0)=\frac{1}{x_0}</math>. מש"ל.
+בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . מש"ל.
 ==שאלה 3==
+א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>.
-א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקצייה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>.
 ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
@@ שורה 28: / שורה 26: @@
 <math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=</math>
-<math>=2^3-4*4+4+(3*4-8*2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3</math>
+<math>=2^3-4\cdot 4+4+(3\cdot 4-8\cdot 2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac66(x-2)^3</math>
-<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math>,
+<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math> ,
 ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.
-מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא 0, כצפוי.
+מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא <math>0</math> , כצפוי.
 ==שאלה 4==
-הפונקצייה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב<math>\pi</math>, ולכן הפונקצייה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב<math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)
+הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>\pi</math> , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב<math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)
-נימוק פורמלי:<math>f(x+\pi)=x+\pi+sin(2x+2\pi)=x+sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math>.
+נימוק פורמלי: <math>f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math> .
 גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.
-נגזור: <math>f'(x)=1+2cos(2x)=0\Leftrightarrow cos(2x)=-\frac{1}{2}</math>
+נגזור: <math>f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12</math>
-<math>\Leftrightarrow 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \,  \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \; (k \in \mathbb{N})</math>
+<math>\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \ (k\in\N)</math>
-זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנק' הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השנייה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
+זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
 גרף באדיבות וולפראם: [[קובץ:x+sin2x.pdf]]
 ==שאלה 5==
-א) סדרה ממשית <math>\left \{ a_n\right \}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):
+א) סדרה ממשית <math>\{a_n\}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):
-<math>\forall \epsilon >0 \exists N \in\mathbb{N}\forall m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}:(m>N \wedge n>N \rightarrow |a_m-a_n|<\epsilon )</math>
+<math>\forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to |a_m-a_n|<\epsilon)</math>
-ב)ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה-<math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי).
+ב) ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה- <math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- <math>n</math> של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי).
-היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.
+היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.
-ג) נשים לב שהטור <math>\sum (a_n+1\right - a_n\right) = (-1)^(n)(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^nn!}</math>
+ג) נשים לב שהטור <math>\sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})</math>
 ==שאלה 6==
 השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
-המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math>, ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math>.
+המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math>, ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math> .
-לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math>.
+לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math> .
-הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math>. לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3.
+הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math> . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3.
-<math>x(2)=8-8/3=5 \frac{1}{3}</math>, <math>x(0)=0</math>, <math>x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5 \frac{1}{3}</math>.
+<math>x(2)=8-\frac83=5 \frac13</math> , <math>x(0)=0</math> , <math>x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5 \frac13</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"

גרסה מ־19:18, 1 בפברואר 2016

תוכן עניינים

שאלה 2

שאלה 3

שאלה 4

שאלה 5

שאלה 6

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים