שינויים

 נגדיר פונ' פונקציה <math>h</math> על -ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=xfx\cdot f(x)</math>. <math>h </math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' פונקציות רציפות.

בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0fx_0\cdot f(x_0)=1\rightarrow to f(x_0)=\frac{1}frac1{x_0}</math>. מש"ל.

 א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקצייה פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\sum_sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>.

<math>=2^3-4*\cdot 4+4+(3*\cdot 4-8*\cdot 2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}frac66(x-2)^3</math>

<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math>,

מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא <math>0</math> , כצפוי.

הפונקצייה הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>\pi</math>, ולכן הפונקצייה הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב<math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)

נימוק פורמלי:<math>f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math>.

נגזור: <math>f'(x)=1+2cos2\cos(2x)=0\Leftrightarrow iff \cos(2x)=-\frac{1}{2}frac12</math>

<math>\Leftrightarrow iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \, \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \Leftrightarrow iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \; (k \in \mathbb{N})</math>

זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנק' מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השנייה השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

א) סדרה ממשית <math>\left \{ a_n\right \}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):<math>\forall \epsilon >0 \ ,\ \exists N \in\mathbb{N}\forall m,\in\mathbb{N} \forall m,n\in\mathbb{N}:(m>N \wedge n>N \rightarrow to |a_m-a_n|<\epsilon )</math>

ב)ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה-<math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-<math>n </math> של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי-רציונאלי).היא של רציונלייםרציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונלירציונאלי.

ג) נשים לב שהטור <math>\sum (a_na_{n+1\right } - a_n\right) = (-1)^(n)(\frac{1}frac1{2^n} + \frac{1}frac1{2^nnn\cdot n!})</math>

המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math>, ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math>.

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math>.

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math>. לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3.<math>x(2)=8-8/3\frac83=5 \frac{1}{3}frac13</math>, <math>x(0)=0</math>, <math>x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5 \frac{1}{3}frac13</math>.