הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 1: שורה 1:
 
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )
 
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )
−
 
  
 
==שאלה 2==
 
==שאלה 2==
−
נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=x\cdot f(x)</math> .  
+
נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
−
<math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
+
  
−
<math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>.
+
<math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0\in[0,2]:h(x)=1</math> .
  
 
בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . מש"ל.
 
בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . מש"ל.
  
 
==שאלה 3==
 
==שאלה 3==
−
א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>.
+
א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math> .
  
−
ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
+
ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math> . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
  
 
נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math>
 
נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math>
שורה 26: שורה 24:
 
<math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=</math>
 
<math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=</math>
  
−
<math>=2^3-4\cdot 4+4+(3\cdot 4-8\cdot 2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac66(x-2)^3</math>
+
<math>=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3</math>
  
 
<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math> ,
 
<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math> ,
שורה 35: שורה 33:
  
 
==שאלה 4==
 
==שאלה 4==
−
הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>\pi</math> , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב<math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)
+
הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>\pi</math> , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- <math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)
  
 
נימוק פורמלי: <math>f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math> .
 
נימוק פורמלי: <math>f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math> .
שורה 43: שורה 41:
 
נגזור: <math>f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12</math>
 
נגזור: <math>f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12</math>
  
−
<math>\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \ (k\in\N)</math>
+
<math>\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \or 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k\or x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\ (k\in\N)</math>
  
 
זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
 
זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

גרסה מ־13:06, 4 בנובמבר 2016

(המבחן )

שאלה 2

נגדיר פונקציה h על-ידי \forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x) . h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.

h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2 ואילו h(0)=0f(0)=0 ולכן לפי משפט ערך הביניים \exists x_0\in[0,2]:h(x)=1 .

בנקודה זו מתקיים הדרוש - h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0} . מש"ל.

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי f פונקציה מוגדרת וגזירה n+1 פעמים בסביבה S של x_0 . אז \forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x) , כאשר P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k .

ב)תהי f(x)=x^3-4x^2+2x . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

נחשב נגזרות - f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2

f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8

f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6

f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0

P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=

=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3

P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3 ,

ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

מתקיים R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x) ולכן השארית היא 0 , כצפוי.

שאלה 4

הפונקציה בכל מחזור \pi תעלה בדיוק ב- \pi , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- \pi בכל פעם של קטע בודד באורך \pi שלה. (ראו הגרף)

נימוק פורמלי: f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi .

גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.

נגזור: f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12

\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \or 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k\or x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\ (k\in\N)

זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf

שאלה 5

א) סדרה ממשית \{a_n\}^\infty תקרא סדרת קושי אם("ם): \forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to |a_m-a_n|<\epsilon)

ב) ניקח את הסדרה a_n שהאיבר ה- n-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- n של \pi (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי). היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל \pi, אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.

ג) נשים לב שהטור \sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})

שאלה 6

השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

המהירות היא v(t)=4-t^2 ולכן האינטגרל הוא x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C, ועם תנאי ההתחלה x(0)=0 נקבל C=0 .

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של x(t)=4t-\frac{t^3}{3} בתחום [0,3] .

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה t=2 . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3. x(2)=8-\frac83=5 \frac13 , x(0)=0 , x(3)=12-9=3 ולכן ההעתק המקסימלי הוא 5 \frac13.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_אינפי_1,_תש%22נ&oldid=68130