פתרון אינפי 1, תש"נ

(המבחן )

שאלה 1

(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי $f$ פונקצ' המוגדרת בסביבת $x_0$. נניח כי $f$ גזירה ב-$x_0$ וגם $f'(x_0) \neq 0$ וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה $f^{-1}$ ורציפה בנקודה $y_0=f(x_0)$. אזי $f^{-1}$ גזירה ב-$y_0$, ונגזרתה שם שווה ל- $\frac{1}{f'(x_0)}$.

הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-$x_0$ ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$.

לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: $\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}$.

לפי ההנחות $f^{-1}$ רציפה ב$y_0$. לכן $\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0$, ובאותו האופן $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}$, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-

$\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}$ זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.

שאלה 2

נגדיר פונ' $h$ על ידי $\forall x \in [0,2]: h(x)=f(x)-\frac{1}{x}$.