פתרון אינפי 1, תש"נ

(המבחן )

שאלה 1

ביקשו בכלל את הנגזרת של $1/f$ ולא של $f^{-1}$... אני צריך ללמוד לקרוא.

בכל אופן, הוכחה למה שלא ביקשו:

(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי $f$ פונקצ' המוגדרת בסביבת $x_0$. נניח כי $f$ גזירה ב-$x_0$ וגם $f'(x_0) \neq 0$ וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה $f^{-1}$ ורציפה בנקודה $y_0=f(x_0)$. אזי $f^{-1}$ גזירה ב-$y_0$, ונגזרתה שם שווה ל- $\frac{1}{f'(x_0)}$.

הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-$x_0$ ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$.

לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: $\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}$.

לפי ההנחות $f^{-1}$ רציפה ב$y_0$. לכן $\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0$, ובאותו האופן $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}$, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-

$\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}$ זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.

$(\frac{1}{f})'(x_0)=-\frac{f'(x_0)}{f^2(x_0)}$

שאלה 2

נגדיר פונ' $h$ על ידי $\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)$. h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.

$h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2$ ואילו $h(0)=0f(0)=0$ ולכן לפי משפט ערך הביניים $\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1$.

בנקודה זו מתקיים הדרוש - $h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0)=\frac{1}{x_0}$. מש"ל.

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי $f$ פונקצייה מוגדרת וגזירה $n+1$ פעמים בסביבה $S$ של $x_0$. אז $\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)$, כאשר $P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$.

ב)תהי $f(x)=x^3-4x^2+2x$. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

נחשב נגזרות - $f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2$

$f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8$

$f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6$

$f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0$

$P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=$

$=2^3-4*4+4+(3*4-8*2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3$

$P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3$,

ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

מתקיים $R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)$ ולכן השארית היא 0, כצפוי.

שאלה 4

הפונקצייה בכל מחזור $\pi$ תעלה בדיוק ב$\pi$, ולכן הפונקצייה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב$\pi$ בכל פעם של קטע בודד באורך $\pi$ שלה. (ראו הגרף)

נימוק פורמלי:$f(x+\pi)=x+\pi+sin(2x+2\pi)=x+sin(2x)+\pi=f(x)+\pi$.

גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.

נגזור: $f'(x)=1+2cos(2x)=0\Leftrightarrow cos(2x)=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \, \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \; (k \in \mathbb{N})$

זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנק' הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השנייה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf

שאלה 5

א) סדרה ממשית $\left \{ a_n\right \}^\infty$ תקרא סדרת קושי אם("ם): $\forall \epsilon >0 \exists N \in\mathbb{N}\forall m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}:(m>N \wedge n>N \rightarrow |a_m-a_n|<\epsilon )$

ב)ניקח את הסדרה $a_n$ שהאיבר ה-$n$-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של $\pi$ (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי). היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל $\pi$, אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.

ג) נשים לב שהטור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): Sigma (a_n+1\right - a_n\right) = (-1)^(n)(frac{1}{2^n} + frac{1}{2^nn!}

שאלה 6

השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

המהירות היא $v(t)=4-t^2$ ולכן האינטגרל הוא $x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C$, ועם תנאי ההתחלה $x(0)=0$ נקבל $C=0$.

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של $x(t)=4t-\frac{t^3}{3}$ בתחום $[0,3]$.

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה $t=2$. לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3. $x(2)=8-8/3=5 \frac{1}{3}$, $x(0)=0$, $x(3)=12-9=3$ ולכן ההעתק המקסימלי הוא $5 \frac{1}{3}$.