פתרון אינפי 1, תש"נ

(המבחן )

שאלה 2

נגדיר פונקציה $h$ על-ידי $\forall x \in [0,2]: h(x)=x\cdot f(x)$ . $h$ רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.

$h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2$ ואילו $h(0)=0f(0)=0$ ולכן לפי משפט ערך הביניים $\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1$.

בנקודה זו מתקיים הדרוש - $h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}$ . מש"ל.

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי $f$ פונקציה מוגדרת וגזירה $n+1$ פעמים בסביבה $S$ של $x_0$ . אז $\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ , כאשר $P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$.

ב)תהי $f(x)=x^3-4x^2+2x$. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

נחשב נגזרות - $f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2$

$f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8$

$f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6$

$f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0$

$P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=$

$=2^3-4\cdot 4+4+(3\cdot 4-8\cdot 2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac66(x-2)^3$

$P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3$ ,

ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

מתקיים $R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)$ ולכן השארית היא $0$ , כצפוי.

שאלה 4

הפונקציה בכל מחזור $\pi$ תעלה בדיוק ב- $\pi$ , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב$\pi$ בכל פעם של קטע בודד באורך $\pi$ שלה. (ראו הגרף)

נימוק פורמלי: $f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi$ .

גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.

נגזור: $f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12$

$\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \ (k\in\N)$

זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf

שאלה 5

א) סדרה ממשית $\{a_n\}^\infty$ תקרא סדרת קושי אם("ם): $\forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to |a_m-a_n|<\epsilon)$

ב) ניקח את הסדרה $a_n$ שהאיבר ה- $n$-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- $n$ של $\pi$ (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי). היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל $\pi$, אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.

ג) נשים לב שהטור $\sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})$

שאלה 6

השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

המהירות היא $v(t)=4-t^2$ ולכן האינטגרל הוא $x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C$, ועם תנאי ההתחלה $x(0)=0$ נקבל $C=0$ .

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של $x(t)=4t-\frac{t^3}{3}$ בתחום $[0,3]$ .

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה $t=2$ . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3. $x(2)=8-\frac83=5 \frac13$ , $x(0)=0$ , $x(3)=12-9=3$ ולכן ההעתק המקסימלי הוא $5 \frac13$.