הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. דוגמה: <math>a_n=2(1+\fra...")
 
מ
שורה 7: שורה 7:
 
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
 
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
 
ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>.
 
ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>.
 +
  
 
3) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות:  
 
3) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות:  
שורה 12: שורה 13:
 
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
 
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
  
4) הפרכה לא', ב': נגדיר <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
+
 
 +
 
 +
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
 
x+2 &x\neq 9 \\  
 
x+2 &x\neq 9 \\  
 
x+3 & x=9
 
x+3 & x=9
שורה 19: שורה 22:
 
x+2 & x=9
 
x+2 & x=9
 
\end{matrix}\right.</math>
 
\end{matrix}\right.</math>
 +
 +
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן <math>f(g(x))=\left\{\begin{matrix}
 +
x+5 &x\neq 9 \\
 +
x+5 & x=9
 +
\end{matrix}\right.=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
 +
 +
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג'.
 +
 +
  
 
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
 
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
שורה 25: שורה 37:
 
4x & else
 
4x & else
 
\end{matrix}\right.</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math>.
 
\end{matrix}\right.</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math>.
 +
  
 
הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2  \wedge  f(x_1) = f(x_2)</math>.
 
הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2  \wedge  f(x_1) = f(x_2)</math>.
  
 
בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math>  f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.
 
בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math>  f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.

גרסה מ־07:09, 1 בפברואר 2012

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. דוגמה: a_n=2(1+\frac{1}{n}), b_n=-2(1+\frac{1}{n}).


2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': an=1/n. ברור a_n \to \infty אבל \lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1. אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן \frac{1}{|a_n|} \to \infty .


3) ד'. \infty או 0 נק'. שתי דוגמאות: a_n=n, a_n=1+1/n. באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה x=c בחיתוך ונתבונן במקום n=c+1, שלא מכיל את c כלל, בסתירה.


4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר f(x)=\left\{\begin{matrix}
x+2 &x\neq 9 \\ 
x+3 & x=9
\end{matrix}\right., g(x)=\left\{\begin{matrix}
x+3 &x\neq 9 \\ 
x+2 & x=9
\end{matrix}\right.

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן f(g(x))=\left\{\begin{matrix}
x+5 &x\neq 9 \\ 
x+5 & x=9
\end{matrix}\right.=x+5 והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.

גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג'.


6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': f(x)=\left\{\begin{matrix}

\frac{x}{2} & x\leq4 \\ 
4x & else
\end{matrix}\right. עולה ממש ואינה רציפה בקטע (-152.3,17).


הוכחת ב': בשלילה, \exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2  \wedge  f(x_1) = f(x_2).

בסתירה לכך ש f עולה ממש, שהרי בה"כ x_1<x_2 ולכן   f(x_1) < f(x_2) בסתירה להיותם שווים.