הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. דוגמה: <math>a_n=2(1+\fra...") |
מ |
||
שורה 7: | שורה 7: | ||
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. | אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. | ||
ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>. | ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>. | ||
+ | |||
3) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות: | 3) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות: | ||
שורה 12: | שורה 13: | ||
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, שלא מכיל את c כלל, בסתירה. | (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, שלא מכיל את c כלל, בסתירה. | ||
− | 4) הפרכה לא', ב': נגדיר <math>f(x)=\left\{\begin{matrix} | + | |
+ | |||
+ | 4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\left\{\begin{matrix} | ||
x+2 &x\neq 9 \\ | x+2 &x\neq 9 \\ | ||
x+3 & x=9 | x+3 & x=9 | ||
שורה 19: | שורה 22: | ||
x+2 & x=9 | x+2 & x=9 | ||
\end{matrix}\right.</math> | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | אז ברור שההרכבה רציפה, שכן <math>f(g(x))=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x+5 &x\neq 9 \\ | ||
+ | x+5 & x=9 | ||
+ | \end{matrix}\right.=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות. | ||
+ | |||
+ | גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג'. | ||
+ | |||
+ | |||
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix} | 6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix} | ||
שורה 25: | שורה 37: | ||
4x & else | 4x & else | ||
\end{matrix}\right.</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math>. | \end{matrix}\right.</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math>. | ||
+ | |||
הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2 \wedge f(x_1) = f(x_2)</math>. | הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2 \wedge f(x_1) = f(x_2)</math>. | ||
בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים. | בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים. |
גרסה מ־07:09, 1 בפברואר 2012
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. דוגמה: , .
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': . ברור אבל .
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
ב' נכון שכן .
3) ד'. או 0 נק'. שתי דוגמאות:
, . באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה בחיתוך ונתבונן במקום , שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר ,
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג'.
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': עולה ממש ואינה רציפה בקטע .
הוכחת ב': בשלילה, .
בסתירה לכך ש עולה ממש, שהרי בה"כ ולכן בסתירה להיותם שווים.