הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"
שורה 6: | שורה 6: | ||
2) התשובה היא ב'. | 2) התשובה היא ב'. | ||
− | הפרכה לג', ד': <math> | + | הפרכה לג', ד': <math>a_n=1/n</math>. ברור <math>a_n \to \infty </math> אבל <math>\lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1</math>. |
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. | אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. | ||
ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>. | ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>. | ||
שורה 45: | שורה 45: | ||
בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים. | בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים. | ||
+ | |||
7) <math>f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}</math>. | 7) <math>f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}</math>. | ||
שורה 61: | שורה 62: | ||
8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה. | 8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה. | ||
− | 9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי. | + | 9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8(\frac{n}{n+2})^n</math>. |
גרסה מ־07:42, 1 בפברואר 2012
(המבחן)
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. דוגמה: , .
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': . ברור אבל .
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
ב' נכון שכן .
3) ד'. או 0 נק'. שתי דוגמאות:
, . באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה בחיתוך ונתבונן במקום , שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר ,
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים , שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': עולה ממש ואינה רציפה בקטע .
הוכחת ב': בשלילה, .
בסתירה לכך ש עולה ממש, שהרי בה"כ ולכן בסתירה להיותם שווים.
7) .
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה , ונקבל: .
8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה.
9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של .