הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"

גרסה מ־08:23, 1 בפברואר 2012

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. דוגמה: $a_n=2(1+\frac{1}{n})$ , $b_n=-2(1+\frac{1}{n})$ .

2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': $a_n=1/n$ . ברור $a_n \to \infty$ אבל $\lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1$ . אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן $\frac{1}{|a_n|} \to \infty$ .

3) ד'. $\infty$ או 0 נק'. שתי דוגמאות: $a_n=n$ , $a_n=1+1/n$ . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה $x=c$ בחיתוך ונתבונן במקום $n=c+1$ , שלא מכיל את c כלל, בסתירה.

4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר $f(x)=\left\{\begin{matrix} x+2 &x\neq 9 \\ x+3 & x=9 \end{matrix}\right.$ , $g(x)=\left\{\begin{matrix} x+3 &x\neq 9 \\ x+2 & x=9 \end{matrix}\right.$

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן $f(g(x))=\left\{\begin{matrix} x+5 &x\neq 9 \\ x+5 & x=9 \end{matrix}\right.=x+5$ והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.

גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.

5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ , שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור $-1<r<1$ , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} & x\leq4 \\ 4x & else \end{matrix}\right.$ עולה ממש ואינה רציפה בקטע $(-152.3,17)$ .

הוכחת ב': בשלילה, $\exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2 \wedge f(x_1) = f(x_2)$ .

בסתירה לכך ש $f$ עולה ממש, שהרי בה"כ $x_1<x_2$ ולכן $f(x_1) < f(x_2)$ בסתירה להיותם שווים.

7) $f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}$ .

$f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}\frac{= xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}$

$f'(0)=\frac{-0^2sin0+2cos0-0sin0-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4}$

זהו שיפוע המשיק.

כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה $(0,\frac{1}{2})$ , ונקבל: $y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x$ .

8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה.

9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של $8(\frac{n}{n+2})^n$ .

$8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}$

קיבלנו גורם 8, גורם $(e^{-1})^2$ , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא $\frac{8}{e^2}>1$ , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.

11) נגדיר פונקצייה h על ידי $\forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2$ . כעת, נתבונן ב $h(1),h(2),h(3)$ :

$h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0$ ואילו $h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0$ , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- $h$ יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע $(0,1)$ .

באותו האופן, $h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0$ ולכן יש ל- $h$ שורש בקטע $(-1,0)$ . כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.

12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי $\forall x \in I: h(x)=f(x)-x$ . h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע $I$ ולכן לפי משפט רול קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר $\exists c \in I: h'(c)=0$ . לכן $h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0\Rightarrow f'(x)=1$ . מש"ל.

12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.

$\blacksquare$

@@ שורה 59: / שורה 59: @@
 כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה <math>(0,\frac{1}{2})</math>, ונקבל:
 <math>y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x</math>.
 ) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה.
 ) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8(\frac{n}{n+2})^n</math>.
@@ שורה 66: / שורה 68: @@
 <math>8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}</math>
-קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1</math>, ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.
+קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1</math>, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.
@@ שורה 77: / שורה 79: @@
 באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל-<math>h </math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math>. כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
 קליין) נגדיר פונקצייה  h על ידי <math>\forall x \in I: h(x)=f(x)-x</math>.
 h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>. לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0\Rightarrow f'(x)=1</math>. מש"ל.
+הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.
 <math>\blacksquare</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"

גרסה מ־08:23, 1 בפברואר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים