הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
מ
שורה 1: שורה 1:
 
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן])
 
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן])
 +
  
 
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס.  
 
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס.  
שורה 14: שורה 15:
  
 
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\epsilon</math> אז <math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} </math>.
 
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\epsilon</math> אז <math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} </math>.
פורמלית: יהי <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n \to \infty </math> ולכן לכל <math>\frac{1}{\epsilon }</math> קיים <math>N</math> כך ש<math>\forall n<N: |a_n|<\frac{1}{\epsilon }</math>, כלומר כך ש<math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} </math>. מש"ל.  
+
פורמלית: יהי <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n \to \infty </math> ולכן לכל <math>\frac{1}{\epsilon }</math> קיים <math>N</math> כך ש<math>\forall n<N: |a_n|<\frac{1}{\epsilon }</math>, כלומר כך ש<math>\frac{1}{|a_n|}>\epsilon </math>. מש"ל.  
 +
 
 +
 
  
 
3) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות:  
 
3) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות:  
שורה 36: שורה 39:
  
 
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
 
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
 +
  
 
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים <math>\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.
 
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים <math>\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.
 
(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
 
(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
 +
  
 
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
 
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
שורה 66: שורה 71:
  
  
8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה.
+
8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא מונוטונית וחסומה.
  
  

גרסה מ־09:28, 1 בפברואר 2012

(המבחן)


1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. a_n היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י b_1 (באינדוקציה - b_1 גדולה יותר מכל שאר איברי b שגדולים יותר מכל איברי a) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, b_n היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':

דוגמה: a_n=2(1+\frac{1}{n}), b_n=-2(1+\frac{1}{n}).


2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': a_n=1/n. ברור a_n \to \infty אבל \lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1. אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן \frac{1}{|a_n|} \to \infty .

(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם |a_n|<\epsilon אז \frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} . פורמלית: יהי  \epsilon>0. מתקיים a_n \to \infty ולכן לכל \frac{1}{\epsilon } קיים N כך ש\forall n<N: |a_n|<\frac{1}{\epsilon }, כלומר כך ש\frac{1}{|a_n|}>\epsilon . מש"ל.


3) ד'. \infty או 0 נק'. שתי דוגמאות: a_n=n, a_n=1+1/n. באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה x=c בחיתוך ונתבונן במקום n=c+1, שלא מכיל את c כלל, בסתירה.


4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר f(x)=\left\{\begin{matrix}
x+2 &x\neq 9 \\ 
x+3 & x=9
\end{matrix}\right., g(x)=\left\{\begin{matrix}
x+3 &x\neq 9 \\ 
x+2 & x=9
\end{matrix}\right.

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן f(g(x))=\left\{\begin{matrix}
x+5 &x\neq 9 \\ 
x+5 & x=9
\end{matrix}\right.=x+5 והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.

גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.


5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור -1<r<1, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)


6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': f(x)=\left\{\begin{matrix}

\frac{x}{2} & x\leq4 \\ 
4x & else
\end{matrix}\right. עולה ממש ואינה רציפה בקטע (-152.3,17).


הוכחת ב': בשלילה, \exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2  \wedge  f(x_1) = f(x_2).

בסתירה לכך ש f עולה ממש, שהרי בה"כ x_1<x_2 ולכן   f(x_1) < f(x_2) בסתירה להיותם שווים.


7) f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}.

f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}\frac{=

xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}

f'(0)=\frac{-0^2sin0+2cos0-0sin0-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4}

זהו שיפוע המשיק.

כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה (0,\frac{1}{2}), ונקבל: y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x.


8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא מונוטונית וחסומה.


9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של 8(\frac{n}{n+2})^n.

8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}

קיבלנו גורם 8, גורם (e^{-1})^2, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא \frac{8}{e^2}>1, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.


11) נגדיר פונקצייה h על ידי \forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2. כעת, נתבונן בh(1),h(2),h(3):

h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0
ואילו h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0
, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-h יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע (0,1).

באותו האופן, h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0 ולכן יש ל-h שורש בקטע (-1,0). כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.

12 זלצמן) הוכחה: sin2x רציפה ובעלת מחזור p=\pi ולכן רציפה במ"ש ב\mathbb{R} ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- \mathbb{R}, ובפרט בקרן החיובית הסגורה [0,\infty). ידוע x רציפה במ"ש ב\mathbb{R} ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- \mathbb{R}, ובפרט בקרן השלילית הסגורה (\infty,0]. לכן (לפי משפט ממערכי התרגול) f רציפה במ"ש באיחוד הקטעים, שהוא הישר הממשי כולו.

12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי \forall x \in I: h(x)=f(x)-x. h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע I ולכן לפי משפט רול קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר \exists c \in I: h'(c)=0. לכן h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0\Rightarrow f'(x)=1. מש"ל.


12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.


\blacksquare