הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"

גרסה מ־10:10, 1 בפברואר 2012

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. $a_n$ היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י $b_1$ (באינדוקציה - $b_1$ גדולה יותר מכל שאר איברי $b$ שגדולים יותר מכל איברי $a$ ) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, $b_n$ היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י $a_1$ ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':

דוגמה: $a_n=2(1+\frac{1}{n})$ , $b_n=-2(1+\frac{1}{n})$ .

2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': $a_n=1/n$ . ברור $a_n \to \infty$ אבל $\lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1$ . אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן $\frac{1}{|a_n|} \to \infty$ .

(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם $|a_n|<\epsilon$ אז $\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon}$ .) פורמלית: יהי $\epsilon>0$ . מתקיים $a_n \to \infty$ ולכן לכל $\frac{1}{\epsilon }$ קיים $N$ כך ש $\forall n<N: |a_n|<\frac{1}{\epsilon }$ , כלומר כך ש $\frac{1}{|a_n|}>\epsilon$ . מש"ל.

3) ד'. $\infty$ או 0 נק'. שתי דוגמאות: $a_n=n$ , $a_n=1+1/n$ . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה נניח בשלילה שיש נקודה $x=c$ בחיתוך ונתבונן במקום $n=c+1$ , כלומר בקטע $[c+1, \infty)$ שלא מכיל את c כלל, בסתירה.

4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר $f(x)=\left\{\begin{matrix} x+2 &x\neq 9 \\ x+3 & x=9 \end{matrix}\right.$ , $g(x)=\left\{\begin{matrix} x+3 &x\neq 9 \\ x+2 & x=9 \end{matrix}\right.$

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן $f(g(x))=\left\{\begin{matrix} x+5 &x\neq 9 \\ x+5 & x=9 \end{matrix}\right.=x+5$ והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.

גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.

5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ , שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור $-1<r<1$ , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} & x\leq4 \\ 4x & else \end{matrix}\right.$ עולה ממש ואינה רציפה בקטע $(-152.3,17)$ .

הוכחת ב': בשלילה, $\exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2 \wedge f(x_1) = f(x_2)$ .

בסתירה לכך ש $f$ עולה ממש, שהרי בה"כ $x_1<x_2$ ולכן $f(x_1) < f(x_2)$ בסתירה להיותם שווים.

7) $f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}$ .

$f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}\frac{= xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}$

$f'(0)=\frac{-0^2sin0+2cos0-0sin0-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4}$

זהו שיפוע המשיק.

כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה $(0,\frac{1}{2})$ , ונקבל: $y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x$ .

8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד $3n$ . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:

$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\frac{2}{2n}-\frac{1}{n}=0$ ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה הסדרה חסומה מלרע ע"י 0 (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.

9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר n שואף לאינסוף.

בשביל לבדוק התכנסות בהחלט ישירות (מה שהתברר כמיותר לאחר מעשה), אפשר להשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של $8(\frac{n}{n+2})^n$ .

$8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}$

קיבלנו גורם 8, גורם $(e^{-1})^2$ , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא $\frac{8}{e^2}>1$ , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.

11) נגדיר פונקצייה h על ידי $\forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2$ . כעת, נתבונן ב $h(1),h(2),h(3)$ :

$h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0$ ואילו $h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0$ , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- $h$ יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע $(0,1)$ .

באותו האופן, $h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0$ ולכן יש ל- $h$ שורש בקטע $(-1,0)$ . כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.

12 זלצמן) הוכחה: $sin2x$ רציפה ובעלת מחזור $p=\pi$ ולכן רציפה במ"ש ב $\mathbb{R}$ ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- $\mathbb{R}$ , ובפרט בקרן החיובית הסגורה $[0,\infty)$ .

ידוע ש- $x$ רציפה במ"ש ב $\mathbb{R}$ ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- $\mathbb{R}$ , ובפרט בקרן השלילית הסגורה $(-\infty,0]$ .

לכן (לפי משפט ממערכי התרגול) f רציפה במ"ש באיחוד הקטעים, שהוא הישר הממשי כולו.

12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי $\forall x \in I: h(x)=f(x)-x$ . $h$ מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע $I$ ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר $\exists c \in I: h'(c)=0$ . לכן $h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0$ , ומכאן ש- $f'(x)=1$ . מש"ל.

12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.

$\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן])
+([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן] )
 ) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס.
-<math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math></math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':
+<math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':
 דוגמה:
@@ שורה 14: / שורה 14: @@
 ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>.
-(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\epsilon</math> אז <math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} </math>.
+(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\epsilon</math> אז <math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} </math>.)
 פורמלית: יהי <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n \to \infty </math> ולכן לכל <math>\frac{1}{\epsilon }</math> קיים <math>N</math> כך ש<math>\forall n<N: |a_n|<\frac{1}{\epsilon }</math>, כלומר כך ש<math>\frac{1}{|a_n|}>\epsilon </math>. מש"ל.
@@ שורה 21: / שורה 21: @@
 ) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות:
 <math>a_n=n</math>, <math>a_n=1+1/n</math>. באחת יש אינסוף נקודות
-(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
+(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, כלומר בקטע <math>[c+1, \infty)</math> שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
@@ שורה 77: / שורה 77: @@
-) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8(\frac{n}{n+2})^n</math>.
+) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר n שואף לאינסוף.
+בשביל לבדוק התכנסות בהחלט ישירות (מה שהתברר כמיותר לאחר מעשה), אפשר להשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8(\frac{n}{n+2})^n</math>.
 <math>8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"

גרסה מ־10:10, 1 בפברואר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים