הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 1: שורה 1:
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]]
+
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 
+
 
+
 
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן] )
 
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן] )
  

גרסה מ־08:27, 17 בפברואר 2012

(המבחן )

חלק א'

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. a_n היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י b_1 (באינדוקציה - b_1 גדולה יותר מכל שאר איברי b שגדולים יותר מכל איברי a) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, b_n היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י a_1 ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':

דוגמה: a_n=2(1+\frac{1}{n}), b_n=-2(1+\frac{1}{n}).


2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': a_n=1/n. ברור a_n \to 0 אבל \lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1. אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן \frac{1}{|a_n|} \to \infty .

(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם |a_n|<\epsilon אז \frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} .) פורמלית: יהי  \epsilon>0. מתקיים a_n \to \infty ולכן לכל \frac{1}{\epsilon } קיים N כך ש\forall n<N: |a_n|<\frac{1}{\epsilon }, כלומר כך ש\frac{1}{|a_n|}>\epsilon . מש"ל.


3) ד'. \infty או 0 נק'. שתי דוגמאות: a_n=n, a_n=1+1/n. באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה נניח בשלילה שיש נקודה x=c בחיתוך ונתבונן במקום n=c+1, כלומר בקטע [c+1, \infty) שלא מכיל את c כלל, בסתירה.


4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר f(x)=\left\{\begin{matrix}
x+2 &x\neq 9 \\ 
x+3 & x=9
\end{matrix}\right., g(x)=\left\{\begin{matrix}
x+3 &x\neq 9 \\ 
x+2 & x=9
\end{matrix}\right.

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן f(g(x))=\left\{\begin{matrix}
x+5 &x\neq 9 \\ 
x+5 & x=9
\end{matrix}\right.=x+5 והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.

גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.


5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור -1<r<1, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)


6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': f(x)=\left\{\begin{matrix}

\frac{x}{2} & x\leq4 \\ 
4x & else
\end{matrix}\right. עולה ממש ואינה רציפה בקטע (-152.3,17).


הוכחת ב': בשלילה, \exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2  \wedge  f(x_1) = f(x_2).

בסתירה לכך ש f עולה ממש, שהרי בה"כ x_1<x_2 ולכן   f(x_1) < f(x_2) בסתירה להיותם שווים.


6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8. הוכחה: f עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. f גזירה בx_0 ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת y_0. כעת, לפי ההנחה f גזירה בx_0 ולכן \lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0).

מכאן נקבל \lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac{1}{f'(x_0)}, בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן \lim_{y\rightarrow y_0}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac{1}{f'(x_0)} ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה x_0. בכיוון ההפוך, נראה את הcontrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של f, ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).


חלק ב'

7) f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}.

f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}= =\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}=\frac{

xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}

f'(0)=\frac{-0^2sin0+2cos0-0sin0-1}{(0+2)^2} = \frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4}

זהו שיפוע המשיק.

כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה (0,\frac{1}{2}), ונקבל: y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x.


8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד 3n. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:

a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\frac{2}{2n}-\frac{1}{n}=0 ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה הסדרה חסומה מלרע ע"י 0 (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.


9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר n שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף. (המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)

בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של 8(\frac{n}{n+2})^n.

8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}

קיבלנו גורם 8, גורם (e^{-1})^2, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא \frac{8}{e^2}>1, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.

חלק ג'

10) הפרכה: ניקח a_n=\frac{(-1)^n}{n}, b_n=\frac{(-1)^n}{logn}. לפי לייבניץ הטור \sum a_n מתכנס, וברור שb_n שואפת ל0 שכן logn \to \infty, אבל המכפלה \sum a_nb_n=\sum \frac{1}{n\cdot ln(n)} מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל :)

(נגדיר b_1=0 בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)

11) נגדיר פונקצייה h על ידי \forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2. כעת, נתבונן בh(1),h(2),h(3):

h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0
ואילו h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0
, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-h יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע (0,1).

באותו האופן, h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0 ולכן יש ל-h שורש בקטע (-1,0). כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.


12 זלצמן) הוכחה: מכיון ש sin(2\cdot 0)=0 אז ניתן להגדיר את f "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת f). f(x)= sin(2x) \ \forall x\geq 0 .

f(x)= x\ \forall x\leq 0 .

sin2x רציפה ובעלת מחזור p=\pi ולכן רציפה במ"ש ב\mathbb{R} ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- \mathbb{R}, ובפרט בקרן החיובית הסגורה [0,\infty).

ידוע ש- x רציפה במ"ש ב\mathbb{R} ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- \mathbb{R}, ובפרט בקרן השלילית הסגורה (-\infty,0].

לכן f רציפה במ"ש ב[0,\infty) וכמו כן ב(-\infty,0]. לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת (אפס) ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) f רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.


12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי \forall x \in I: h(x)=f(x)-x.


h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע I ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר \exists c \in I: h'(c)=0. לכן h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 , ומכאן ש- f'(x)=1. מש"ל.


12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.


\blacksquare