שינויים
==חלק א'==
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל- <math>0</math> .
<math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': <math>a_n=1/\frac1{n}</math>. ברור <math>a_n \to 0 </math> אבל <math>\lim_lim\limits_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1</math>.אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.ב' נכון שכן <math>\frac{1}frac1{|a_n|} \to \infty </math>.
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\epsilon</math> אז <math>\frac{1}frac1{|a_n|}>\frac{1}frac1{\epsilon} </math>.)פורמלית: יהי <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n \to \infty </math> ולכן לכל <math>\frac{1}frac1{\epsilon }</math> קיים <math>N</math> כך ש- <math>\forall n<N: |a_n|<\frac{1}frac1{\epsilon }</math>, כלומר כך ש- <math>\frac{1}frac1{|a_n|}>\epsilon </math>. מש"ל.
3) ד'. <math>\infty </math> או <math>0 </math> נק'. שתי דוגמאות: <math>a_n=n</math>, <math>a_n=1+1/\frac1{n}</math>. באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשניה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, כלומר בקטע <math>[c+1, \infty)</math> שלא מכיל את <math>c </math> כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}x+2 &x\neq ne 9 \\
x+3 & x=9
\end{matrix}\right.</math>, <math>g(x)=\left\{\begin{matrix}
x+3 &x\neq ne 9 \\
x+2 & x=9
\end{matrix}\right.</math>
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן <math>f\bigl(g(x)\bigr)=\left\{\begin{matrix}x+5 &x\neq ne 9 \\
x+5 & x=9
\end{matrix}\right.=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריותהלינאריות.
גם <math>f </math> וגם <math>g </math> אינן רציפות ב-<math>9</math> , ולכן זאת הפרכה לגל-ג' והוכחה לדל-ד'.
5) עבור <math>r=1 </math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור <math>r=0 </math> הטור מתכנס (ל0ל- <math>0</math>) מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1 </math> מקבלים <math>\frac{1}frac1{n^{\frac{1}{2}frac12}}</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<math>\frac12<1</math> . פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x}{2} & x\le4 \\ 4x & \mbox{else}\end{matrix}\right.</math>
עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math> .
הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2\in\R:x1\ne x_2 \wedge f(x_1)=f(x_2)</math>. בסתירה לכך ש - <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.
הוכחה: <math>f </math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f </math> גזירה ב<math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math>. כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)</math>.
מכאן נקבל <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}{\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac{1}frac1{f'(x_0)}</math>, בהנחה שהנגזרת שונה מ-<math>0</math> . לכן <math>\lim_lim\limits_{y\rightarrow to y_0}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac{1}frac1{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה <math>x_0</math>. בכיוון ההפוך, נראה את הcontrapositiveה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ-<math>0 </math> (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
== חלק ב' ==
7) <math>f(x)=\frac{1+xcosxx\cdot\cos(x)}{x+2}</math>.
<math>f'(x)=\frac{\bigl(1+xcosxx\cdot\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+xcosxx\cdot\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2}=</math><math>=\frac{\bigl(cosx\cos(x)-xsinxx\cdot\sin(x)\bigr)(x+2)-\bigl(1+xcosxx\cdot\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}=\frac{x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x)+2\cos(x)-2x\cdot\sin(x)-1-x\cdot\cos(x)}{(x+2)^2}</math>
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה <math>(0,\frac{1}{2}frac12)</math>, ונקבל:<math>y=\frac{1}{2}frac12+\frac{1}{4}xfrac14x</math>.
8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math>. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}frac1{2n+1}+\frac{1}frac1{2n+2}-\frac{1}frac1{n}\leq le\frac{1}frac1{2n}+\frac{1}frac1{2n}-\frac{1}frac1{n}=\frac{2}frac2{2n}-\frac{1}frac1{n}=0</math>ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י <math>0 </math> (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
9)<s> הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-<math>0 </math> כאשר <math>n </math> שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף. </s>
(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n</math>.
<math>8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n=8\Big(1-\frac{2}frac2{n+2}\Big)^n=8\bigg(1-\frac{1}frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8\Bigg(\bigg(1-\frac{1}frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}}\Bigg)^2\cdot \bigg(1-\frac{1}frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{-2}</math>
קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1</math>, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
== חלק ג' == 10) '''הפרכה:''' ניקח <math>a_n=\frac{(-1)^n}{n}</math>, <math>b_n=\frac{(-1)^n}{logn\log(n)}</math>.לפי לייבניץ הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, וברור ש- <math>b_n </math> שואפת ל0 ל- <math>0</math> שכן <math>logn \log(n)\to \infty</math>, אבל המכפלה <math>\sum a_nb_na_n\cdot b_n=\sum \frac{1}frac1{n\cdot \ln(n)}</math> מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל :)
(נגדיר <math>b_1=0</math> בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)
11) נגדיר פונקצייה <math>h </math> על -ידי <math>\forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2</math>. כעת, נתבונן ב- <math>h(1),h(2),h(3)</math>:
<math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0</math>ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math>, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-<math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math>.
באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל-<math>h </math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math>. כל שורש של <math>h </math> הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 זלצמן) הוכחה:
מכיון ש - <math>\sin(2\cdot 0)=0</math> אז ניתן להגדיר את <math>f</math> "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת <math>f</math>).<math>f(x)= \sin(2x) \ \forall x\geq ge 0 </math>. <math>f(x)= x\ \forall x\leq 0 </math>. <math>sin2x</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב<math>\mathbb{R}</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\mathbb{R}</math>, ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math>.
ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math> .
12 קליין) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in I: h(x)=f(x)-x</math> .
12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה. <math>\blacksquare</math>
