שינויים

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל- <math>0</math> . <math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':

דוגמא: שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל-0. <math>a_n=2</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (1+\frac1{n}באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר אברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל אברי <math>a</math>)ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב': דוגמא: <math>a_n=2\left(1+\dfrac1n\right),b_n=-2\left(1+\frac1{n}dfrac1n\right)</math> .

(נובע ישירות מההגדרותהפרכה לג', שכן אם ד': <math>|a_n|<=\epsilondfrac1n</math> אז . ברור <math>\frac1{|a_n|}>\frac1{\epsilon}to0</math> .)פורמלית: יהי אבל <math>\epsilon>0</math> . מתקיים <math>a_nlim\limits_{n\to\infty</math> ולכן לכל <math>\frac1}{\epsilon}</math> קיים <math>N</math> כך ש- <math>\forall sqrt[n<N: |]{a_n|<\frac1{\epsilon}}=1</math>, כלומר כך ש- .אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן <math>\frac1dfrac1{|a_n|}>\epsilonto\infty</math> . מש"ל.

גם <math>f</math> וגם <math>g</math> אינן רציפות ב- <math>9</math> , ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-4) התשובה היא ד'.

5) עבור <math>r=1</math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץאז ברור שההרכבה רציפה, מה שפוסל את ג',ד'. עבור שכן <math>r=0</math> הטור מתכנס f\bigl(ל- <math>0</math>g(x)\bigr) מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1</math> מקבלים <math>\frac1{n^begin{cases}x+5&x\ne9\\x+5&x=9\frac12}end{cases}=x+5</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי <math>\frac12<1</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math> , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

 5)*עבור <math>r=1</math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'.*עבור <math>r=0</math> הטור מתכנס (ל-0) מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1</math> מקבלים <math>\frac1{n^{\frac12}}</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי <math>\frac12<1</math> . פוסל את א'.לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math> , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)  6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrixcases} \fracdfrac{x}{2} & x\le4 \\ 4x & \mbox{else}x>4\end{matrixcases}\right.</math>

הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2\in\R:x1x_1\ne x_2 \wedge and f(x_1)=f(x_2)</math>.

6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8. ;הוכחה: <math>f</math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math> . כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>\lim\limits_{x\to x_0}{\fracdfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)</math> .

מכאן נקבל <math>\lim\limits_{x\to x_0}{\fracdfrac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac1{f'(x_0)}</math> , בהנחה שהנגזרת שונה מ- <math>0</math> . לכן <math>\lim\limits_{y\to y_0}{\fracdfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac1{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונ' הפונקציה ההפוכה גזירה בנקודה ב- <math>x_0</math> . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ- <math>0</math> (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).

7) <math>\begin{align}f(x)&=\fracdfrac{1+x\cdot\cos(x)}{x+2}</math> . <math>\\f'(x)&=\frac{\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2}=</math><math>=\frac{\bigl(\cos(x)-x\cdot\sin(x)\bigr)(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}\\&=\frac{x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x)+2\cos(x)-2x\cdot\sin(x)-1-x\cdot\cos(x)}{(x+2)^2}</math> <math>f'(0)=\frac{2\cos(x)-0x\sin(x)(x+2)-1}{(x+2)^2}\cdot\sinf'(0)+&=\frac{2\cos(0)-0\sin(0)(0+2)-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14\end{align}</math>

כעת, נציב במש' במשוואת ישר עם הנקודה <math>\left(0,\frac12tfrac12\right)</math> , ונקבל:<math>y=\frac12dfrac14x+\frac14xdfrac12</math> .

8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math>. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:

<math>a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n}frac1n\le\frac1{2n}+\frac1{2n}-\frac1{n}frac1n=\frac2{2n}-\frac1{n}frac1n=0</math>

9)<s> הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל- <math>0</math> כאשר <math>n\to\infty</math> שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף. </s>

בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8\Bigleft(\fracdfrac{n}{n+2}\Bigright)^n</math> .

<math>8\Bigleft(\frac{n}{n+2}\Bigright)^n=8\Bigleft(1-\frac2{n+2}\Bigright)^n=8\biggleft(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\biggright)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2cdot2-2}=8\Biggleft(\biggleft(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\biggright)^{\frac{(n+2)}{2}}\Biggright)^2\cdot\biggleft(1-\frac1{\fractfrac{n+2}{2}}\biggright)^{-2}</math>

קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math> , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}dfrac8{e^2}>1</math> , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.

10) ''';הפרכה:''' ניקח <math>a_n=\fracdfrac{(-1)^n}{n}</math> , <math>b_n=\fracdfrac{(-1)^n}{\logln(n)}</math> . לפי לייבניץ הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, וברור ש- כי <math>b_n</math> שואפת ל- <math>0\to0</math> שכן <math>\logln(n)\to\infty</math> , אבל המכפלה <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n=\sumsum_{n=1}^\infty\frac1{n\cdot\ln(n)}</math> מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)

 11) נגדיר פונקצייה פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2</math> . כעת, נתבונן ב- <math>h(1),h(2),h(3)</math> :

באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל- <math>h</math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math> . כל שורש של <math>h</math> הוא נקודה בה הפונ' הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.

12 זלצמן) ;הוכחה:מכיון כיון ש- <math>\sin(2\cdot 0cdot0)=0</math> אז ניתן להגדיר את <math>f</math> "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת <math>f</math>). <math>f(x)=\sin(2x) \ \forall x\ge 0</math>.

<math>f(x)=x\ begin{cases}\forall sin(2x)&x\le ge0\\x&x<0\end{cases}</math>.

<math>\sin(2x)</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math> .

ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math> .

לכן <math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[0,\infty)</math> וכמו כן ב- <math>(-\infty,0]</math> . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת (<math>x=0</math>) ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) <math>f</math> רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.

12 קליין) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in I: h(x)=f(x)-x</math> .

<math>h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c\in I: h'(c)=0</math> . לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 </math>, ומכאן ש- <math>f'(x)=1</math> . מש"ל.<math>\blacksquare</math>

12 הורוביץ) פונ' פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד ומיד נקבל סתירה שכן הפונ' הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' הפונקציה תהיה אי-חיובית, בסתירה. <math>\blacksquare</math>