שינויים

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]([http://uexams.csmath.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן])

==חלק א'==1) התשובה היא ב'.  שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפסל-0. דוגמה:<math>a_n=2</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (1+\frac{1}{n}באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר אברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל אברי <math>a</math>)ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math>היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב': דוגמא: <math>a_n=2\left(1+\dfrac1n\right),b_n=-2\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)</math>.

3) ד'. (נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\infty varepsilon</math> או 0 נק'. שתי דוגמאות: אז <math>\dfrac1{|a_n=n</math|}>, <math>a_n=1+1/n\dfrac1{\varepsilon}</math>. באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, שלא מכיל את c כלל, בסתירה.

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן 3) ד'. <math>f(g(x))=\left\{\begin{matrix}infty</math> או 0 נקודות. שתי דוגמאות: x<math>a_n=n,a_n=1+5 &x\neq 9 \\ dfrac1n</math> . באחת יש אינסוף נקודות x+5 & (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=9\end{matrix}\right.c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=xc+51</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות, כלומר בקטע <math>[c+1,\infty)</math> שלא מכיל את <math>c</math> כלל, בסתירה.

6 הורוביץ4) ברור שבהתשובה היא ד'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}

הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\fracbegin{xcases}{x+2} & x\leq4 ne9\\ 4x x+3& elsex=9\end{matrixcases}\right.</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17g(x)=\begin{cases}x+3&x\ne9\\x+2&x=9\end{cases}</math>.

הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2 \wedge f(x_1) = f(x_2),g</math>אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.

75) *עבור <math>fr=1</math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'.*עבור <math>r=0</math> הטור מתכנס (xל-0)מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1</math> מקבלים <math>\fracfrac1{1+xcosx}n^{x+2\frac12}}</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי <math>\frac12<1</math>.פוסל את א'.לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math> , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

xcosx-6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx)=\begin{cases}\dfrac{(x+2)^}{2}&x\le4\\4x&x>4\end{cases}</math>

 עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math> .  הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2\in\R:x_1\ne x_2\and f(x_1)=f(x_2)</math> . בסתירה לכך ש- <math>f</math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math>f(x_1)<f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.  6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.;הוכחה<math>f</math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math> . כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math> . מכאן נקבל <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac1{f'(x_0)}</math> , בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן <math>\lim\limits_{y\to y_0}\dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\fracfrac1{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונקציה ההפוכה גזירה ב- <math>x_0</math> . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ-0(זה לא נימוק לגמרי פורמלי).  ==חלק ב'==7) <math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{1+x\cos(x)}{x+2}\\f'(x)&=\frac{\bigl(1+x\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2sin02}=\frac{\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)(x+2cos02)-0sin0\bigl(1+x\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}\\&=\frac{x\cos(x)-x^2\sin(x)+2\cos(x)-2x\sin(x)-1-x\cos(x)}{(0x+2)^2}=\frac{2\cos(x)-x\sin(x)(x+2)-1}{(x+2)^2}\\f'(0)&=\frac{2\cos(0)-0\sin(0)(0+2)-1}{4(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14\end{align}</math>

כעת, נציב במש' במשוואת ישר עם הנקודה <math>\left(0,\fractfrac12\right)</math> ונקבל: <math>y=\dfrac14x+\dfrac12</math>  8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math> . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:  <math>a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1n\le\frac1{2n}+\frac1{2n}-\frac1n=\frac2{2n}-\frac1n=0</math>ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י <math>0</math> (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.  9) <s>הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר <math>n\to\infty</math>אלא שואפת לאינסוף.</s>(המשפט הקודם נכון, ונקבלאבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>y=8\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^n</math> . <math>8\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac2{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot2-2}=8\left(\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}}\right)^2\cdot\left(1-\frac1{\tfrac{n+2}{42}}\right)^{-2}</math> קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math> , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\dfrac8{e^2}>1</math> , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר. ==חלק ג'==10);הפרכהניקח <math>a_n=\dfrac{(-1)^n}{n},b_n=\dfrac{(-1)^n}{\ln(n)}</math> . לפי לייבניץ הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, וברור כי <math>b_n\to0</math> שכן <math>\ln(n)\to\infty</math> , אבל המכפלה <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\cdot\ln(n)}</math> מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:) (נגדיר <math>b_1=0</math> בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)  11) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[-1,1]:h(x)=f(x)-x^2</math>.כעת, נתבונן ב- <math>h(1),h(2),h(3)</math> : <math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0</math> ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math> , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- <math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math> . באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל- <math>h</math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math> . כל שורש של <math>h</math> הוא נקודה בה הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.  12 זלצמן);הוכחהכיון ש- <math>\sin(2\cdot0)=0</math> אז ניתן להגדיר את <math>f</math> "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת <math>f</math>). <math>f(x)=\begin{cases}\sin(2x)&x\ge0\\x&x<0\end{cases}</math> <math>\sin(2x)</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math> . ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math> . לכן <math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[0,\infty)</math> וכמו כן ב- <math>(-\infty,0]</math> . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת <math>x=0</math> ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) <math>f</math> רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.  12 קליין) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in I:h(x)=f(x)-x</math> . <math>h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c\in I:h'(c)=0</math> . לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0</math> , ומכאן <math>f'(x)=1</math> . <math>\blacksquare</math>

912 הורוביץ) בשביל לבדוק התכנסות בהחלטפונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומיד נקבל סתירה שכן הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונקציה תהיה אי-חיובית, נשתמש במבחן קושיבסתירה.<math>\blacksquare</math>