הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
 
(13 גרסאות ביניים של 5 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן])
+
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 +
([http://exams.math.biu.ac.il/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן] )
  
 +
==חלק א'==
 +
1) התשובה היא ב'.
  
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס.  
+
שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל-0. <math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר אברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל אברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':
<math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math></math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':
+
  
דוגמה:
+
דוגמא: <math>a_n=2\left(1+\dfrac1n\right),b_n=-2\left(1+\dfrac1n\right)</math>
<math>a_n=2(1+\frac{1}{n})</math>, <math>b_n=-2(1+\frac{1}{n})</math>.
+
  
  
 
2) התשובה היא ב'.
 
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': <math>a_n=1/n</math>. ברור <math>a_n \to \infty </math> אבל <math>\lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1</math>.
 
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
 
ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>.
 
  
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\epsilon</math> אז <math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} </math>.
+
הפרכה לג', ד': <math>a_n=\dfrac1n</math> . ברור <math>a_n\to0</math> אבל <math>\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=1</math> .
פורמלית: יהי <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n \to \infty </math> ולכן לכל <math>\frac{1}{\epsilon }</math> קיים <math>N</math> כך ש<math>\forall n<N: |a_n|<\frac{1}{\epsilon }</math>, כלומר כך ש<math>\frac{1}{|a_n|}>\epsilon </math>. מש"ל.  
+
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן <math>\dfrac1{|a_n|}\to\infty</math> .
  
 +
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\varepsilon</math> אז <math>\dfrac1{|a_n|}>\dfrac1{\varepsilon}</math> .)
  
 +
פורמלית: יהי <math>\varepsilon>0</math> . מתקיים <math>a_n\to\infty</math> ולכן לכל <math>\dfrac1{\varepsilon}</math> קיים <math>N</math> כך ש- <math>\forall n<N:|a_n|<\dfrac1{\varepsilon}</math> , כלומר כך ש- <math>\dfrac1{|a_n|}>\varepsilon</math> . <math>\blacksquare</math>
  
3) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות:
 
<math>a_n=n</math>, <math>a_n=1+1/n</math>. באחת יש אינסוף נקודות
 
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
 
  
  
 +
3) ד'. <math>\infty</math> או 0 נקודות. שתי דוגמאות:
 +
<math>a_n=n,a_n=1+\dfrac1n</math> . באחת יש אינסוף נקודות
 +
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math> , כלומר בקטע <math>[c+1,\infty)</math> שלא מכיל את <math>c</math> כלל, בסתירה.
  
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
 
x+2 &x\neq 9 \\
 
x+3 & x=9
 
\end{matrix}\right.</math>, <math>g(x)=\left\{\begin{matrix}
 
x+3 &x\neq 9 \\
 
x+2 & x=9
 
\end{matrix}\right.</math>
 
  
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן <math>f(g(x))=\left\{\begin{matrix}
 
x+5 &x\neq 9 \\
 
x+5 & x=9
 
\end{matrix}\right.=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
 
  
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
+
4) התשובה היא ד'.
  
 +
הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}x+2&x\ne9\\x+3&x=9\end{cases},g(x)=\begin{cases}x+3&x\ne9\\x+2&x=9\end{cases}</math>
  
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים <math>\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.
+
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן <math>f\bigl(g(x)\bigr)=\begin{cases}x+5&x\ne9\\x+5&x=9\end{cases}=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות.
(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
+
  
 +
<math>f,g</math> אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.
  
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
 
  
\frac{x}{2} & x\leq4 \\
+
5)
4x & else
+
*עבור <math>r=1</math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'.
\end{matrix}\right.</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math>.
+
*עבור <math>r=0</math> הטור מתכנס (ל-0) מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1</math> מקבלים <math>\frac1{n^{\frac12}}</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי <math>\frac12<1</math> . פוסל את א'.
 +
לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math> , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
  
  
הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2  \wedge  f(x_1) = f(x_2)</math>.
+
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{2}&x\le4\\4x&x>4\end{cases}</math>
  
בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math>  f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.
 
  
 +
עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math> .
  
7) <math>f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}</math>.
 
  
<math>f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}\frac{=
+
הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2\in\R:x_1\ne x_2\and f(x_1)=f(x_2)</math> .
  
xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}</math>
+
בסתירה לכך ש- <math>f</math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math>f(x_1)<f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.
  
<math>f'(0)=\frac{-0^2sin0+2cos0-0sin0-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4}</math>
+
 
 +
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.
 +
;הוכחה
 +
<math>f</math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math> . כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math> .
 +
 
 +
מכאן נקבל <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac1{f'(x_0)}</math> , בהנחה שהנגזרת שונה מ-0 . לכן <math>\lim\limits_{y\to y_0}\dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac1{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונקציה ההפוכה גזירה ב- <math>x_0</math> . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
 +
 
 +
 
 +
==חלק ב'==
 +
7)
 +
 
 +
<math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{1+x\cos(x)}{x+2}\\f'(x)&=\frac{\bigl(1+x\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)(x+2)-\bigl(1+x\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}\\&=\frac{x\cos(x)-x^2\sin(x)+2\cos(x)-2x\sin(x)-1-x\cos(x)}{(x+2)^2}=\frac{2\cos(x)-x\sin(x)(x+2)-1}{(x+2)^2}\\f'(0)&=\frac{2\cos(0)-0\sin(0)(0+2)-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14\end{align}</math>
  
 
זהו שיפוע המשיק.
 
זהו שיפוע המשיק.
  
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה <math>(0,\frac{1}{2})</math>, ונקבל:
+
כעת, נציב במשוואת ישר עם הנקודה <math>\left(0,\tfrac12\right)</math> ונקבל: <math>y=\dfrac14x+\dfrac12</math>
<math>y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x</math>.
+
 
 +
 
 +
8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math> . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
 +
 
 +
<math>a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1n\le\frac1{2n}+\frac1{2n}-\frac1n=\frac2{2n}-\frac1n=0</math>
 +
ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י <math>0</math> (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
 +
 
 +
 
 +
9) <s>הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר <math>n\to\infty</math> אלא שואפת לאינסוף.</s>
 +
(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)
  
 +
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^n</math> .
  
8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math>. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
+
<math>8\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac2{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot2-2}=8\left(\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}}\right)^2\cdot\left(1-\frac1{\tfrac{n+2}{2}}\right)^{-2}</math>
  
<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\frac{2}{2n}-\frac{1}{n}=0</math>
+
קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math> , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\dfrac8{e^2}>1</math> , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפהמשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה הסדרה חסומה מלרע ע0 (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
+
  
 +
==חלק ג'==
 +
10)
 +
;הפרכה
 +
ניקח <math>a_n=\dfrac{(-1)^n}{n},b_n=\dfrac{(-1)^n}{\ln(n)}</math> .
  
9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8(\frac{n}{n+2})^n</math>.
+
לפי לייבניץ הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, וברור כי <math>b_n\to0</math> שכן <math>\ln(n)\to\infty</math> , אבל המכפלה <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\cdot\ln(n)}</math> מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)
  
<math>8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}</math>
+
(נגדיר <math>b_1=0</math> בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)
  
קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1</math>, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.
 
  
 +
11) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[-1,1]:h(x)=f(x)-x^2</math> . כעת, נתבונן ב- <math>h(1),h(2),h(3)</math> :
  
11) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2</math>. כעת, נתבונן ב<math>h(1),h(2),h(3)</math>:
+
<math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0</math> ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math> , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- <math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math> .
  
<math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0
+
באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל- <math>h</math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math> . כל שורש של <math>h</math> הוא נקודה בה הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
</math>
+
ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0
+
</math>, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-<math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math>.  
+
  
באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל-<math>h </math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math>. כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
 
  
 +
12 זלצמן)
 +
;הוכחה
 +
כיון ש- <math>\sin(2\cdot0)=0</math> אז ניתן להגדיר את <math>f</math> "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת
 +
<math>f</math>).
  
12 זלצמן) הוכחה:
+
<math>f(x)=\begin{cases}\sin(2x)&x\ge0\\x&x<0\end{cases}</math>
<math>sin2x</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב<math>\mathbb{R}</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\mathbb{R}</math>, ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math>.
+
  
ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש ב<math>\mathbb{R}</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\mathbb{R}</math>, ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math>.  
+
<math>\sin(2x)</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math> .
  
לכן (לפי משפט ממערכי התרגול) f רציפה במ"ש באיחוד הקטעים, שהוא הישר הממשי כולו.
+
ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math> .
  
 +
לכן  <math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[0,\infty)</math> וכמו כן ב- <math>(-\infty,0]</math> . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת <math>x=0</math> ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) <math>f</math> רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.
  
12 קליין) נגדיר פונקצייה  h על ידי <math>\forall x \in I: h(x)=f(x)-x</math>.
 
<math>
 
h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>.
 
לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 </math>, ומכאן ש- <math>f'(x)=1</math>. מש"ל.
 
  
 +
12 קליין) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in I:h(x)=f(x)-x</math> .
  
12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.
+
<math>h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c\in I:h'(c)=0</math> . לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0</math> , ומכאן <math>f'(x)=1</math> . <math>\blacksquare</math>
  
  
<math>\blacksquare</math>
+
12 הורוביץ) פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומיד נקבל סתירה שכן הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונקציה תהיה אי-חיובית, בסתירה. <math>\blacksquare</math>

גרסה אחרונה מ־10:45, 12 בספטמבר 2021

(המבחן )

חלק א'

1) התשובה היא ב'.

שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל-0. a_n היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י b_1 (באינדוקציה - b_1 גדולה יותר מכל שאר אברי b שגדולים יותר מכל אברי a) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, b_n היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י a_1 ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':

דוגמא: a_n=2\left(1+\dfrac1n\right),b_n=-2\left(1+\dfrac1n\right)


2) התשובה היא ב'.

הפרכה לג', ד': a_n=\dfrac1n . ברור a_n\to0 אבל \lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=1 . אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן \dfrac1{|a_n|}\to\infty .

(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם |a_n|<\varepsilon אז \dfrac1{|a_n|}>\dfrac1{\varepsilon} .)

פורמלית: יהי \varepsilon>0 . מתקיים a_n\to\infty ולכן לכל \dfrac1{\varepsilon} קיים N כך ש- \forall n<N:|a_n|<\dfrac1{\varepsilon} , כלומר כך ש- \dfrac1{|a_n|}>\varepsilon . \blacksquare


3) ד'. \infty או 0 נקודות. שתי דוגמאות: a_n=n,a_n=1+\dfrac1n . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה x=c בחיתוך ונתבונן במקום n=c+1 , כלומר בקטע [c+1,\infty) שלא מכיל את c כלל, בסתירה.


4) התשובה היא ד'.

הפרכה לא', ב', ג': נגדיר f(x)=\begin{cases}x+2&x\ne9\\x+3&x=9\end{cases},g(x)=\begin{cases}x+3&x\ne9\\x+2&x=9\end{cases}

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן f\bigl(g(x)\bigr)=\begin{cases}x+5&x\ne9\\x+5&x=9\end{cases}=x+5 והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות.

f,g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.


5)

  • עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'.
  • עבור r=0 הטור מתכנס (ל-0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים \frac1{n^{\frac12}}, שמתבדר לפי העיבוי כי \frac12<1 . פוסל את א'.

לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור -1<r<1 , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)


6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{2}&x\le4\\4x&x>4\end{cases}


עולה ממש ואינה רציפה בקטע (-152.3,17) .


הוכחת ב': בשלילה, \exists x_1,x_2\in\R:x_1\ne x_2\and f(x_1)=f(x_2) .

בסתירה לכך ש- f עולה ממש, שהרי בה"כ x_1<x_2 ולכן f(x_1)<f(x_2) בסתירה להיותם שווים.


6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.

הוכחה

f עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. f גזירה ב- x_0 ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת y_0 . כעת, לפי ההנחה f גזירה ב- x_0 ולכן \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0) .

מכאן נקבל \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac1{f'(x_0)} , בהנחה שהנגזרת שונה מ-0 . לכן \lim\limits_{y\to y_0}\dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac1{f'(x_0)} ובפרט קיים. לכן הפונקציה ההפוכה גזירה ב- x_0 . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של f , ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).


חלק ב'

7)

\begin{align}f(x)&=\dfrac{1+x\cos(x)}{x+2}\\f'(x)&=\frac{\bigl(1+x\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)(x+2)-\bigl(1+x\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}\\&=\frac{x\cos(x)-x^2\sin(x)+2\cos(x)-2x\sin(x)-1-x\cos(x)}{(x+2)^2}=\frac{2\cos(x)-x\sin(x)(x+2)-1}{(x+2)^2}\\f'(0)&=\frac{2\cos(0)-0\sin(0)(0+2)-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14\end{align}

זהו שיפוע המשיק.

כעת, נציב במשוואת ישר עם הנקודה \left(0,\tfrac12\right) ונקבל: y=\dfrac14x+\dfrac12


8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד 3n . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:

a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1n\le\frac1{2n}+\frac1{2n}-\frac1n=\frac2{2n}-\frac1n=0 ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י 0 (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.


9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר n\to\infty אלא שואפת לאינסוף. (המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)

בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של 8\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^n .

8\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac2{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot2-2}=8\left(\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}}\right)^2\cdot\left(1-\frac1{\tfrac{n+2}{2}}\right)^{-2}

קיבלנו גורם 8, גורם (e^{-1})^2 , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא \dfrac8{e^2}>1 , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.

חלק ג'

10)

הפרכה

ניקח a_n=\dfrac{(-1)^n}{n},b_n=\dfrac{(-1)^n}{\ln(n)} .

לפי לייבניץ הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס, וברור כי b_n\to0 שכן \ln(n)\to\infty , אבל המכפלה \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\cdot\ln(n)} מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)

(נגדיר b_1=0 בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)


11) נגדיר פונקציה h על-ידי \forall x\in[-1,1]:h(x)=f(x)-x^2 . כעת, נתבונן ב- h(1),h(2),h(3) :

h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0 ואילו h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0 , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- h יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע (0,1) .

באותו האופן, h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0 ולכן יש ל- h שורש בקטע (-1,0) . כל שורש של h הוא נקודה בה הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.


12 זלצמן)

הוכחה

כיון ש- \sin(2\cdot0)=0 אז ניתן להגדיר את f "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת f).

f(x)=\begin{cases}\sin(2x)&x\ge0\\x&x<0\end{cases}

\sin(2x) רציפה ובעלת מחזור p=\pi ולכן רציפה במ"ש ב- \R ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- \R , ובפרט בקרן החיובית הסגורה [0,\infty) .

ידוע ש- x רציפה במ"ש ב- \R ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- \R , ובפרט בקרן השלילית הסגורה (-\infty,0] .

לכן f רציפה במ"ש ב- [0,\infty) וכמו כן ב- (-\infty,0] . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת x=0 ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) f רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.


12 קליין) נגדיר פונקציה h על-ידי \forall x\in I:h(x)=f(x)-x .

h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע I ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר \exists c\in I:h'(c)=0 . לכן h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 , ומכאן f'(x)=1 . \blacksquare


12 הורוביץ) פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומיד נקבל סתירה שכן הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונקציה תהיה אי-חיובית, בסתירה. \blacksquare