[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]([http://uexams.csmath.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן] )
==חלק א'==
1) התשובה היא ב'.
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפסל-0. <math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי אברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי אברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה דוגמא את ב':
דוגמהדוגמא:<math>a_n=2\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)</math>, <math>b_n=-2\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)</math>.
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': <math>a_n=1/n</math>. ברור <math>a_n \to 0 </math> אבל <math>\lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1</math>.
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>.
(נובע ישירות מההגדרותהפרכה לג', שכן אם ד': <math>|a_n|<=\epsilondfrac1n</math> אז . ברור <math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} to0</math>.)פורמלית: יהי אבל <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n lim\limits_{n\to \infty </math> ולכן לכל <math>\frac{1}{\epsilon }</math> קיים <math>N</math> כך ש<math>\forall sqrt[n<N: |]{a_n|<\frac{1}{\epsilon }=1</math>, כלומר כך ש.אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן <math>\frac{1}dfrac1{|a_n|}>\epsilon to\infty</math>. מש"ל.
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\varepsilon</math> אז <math>\dfrac1{|a_n|}>\dfrac1{\varepsilon}</math> .)
פורמלית: יהי <math>\varepsilon>0</math> . מתקיים <math>a_n\to\infty</math> ולכן לכל <math>\dfrac1{\varepsilon}</math> קיים <math>N</math> כך ש- <math>\forall n<N:|a_n|<\dfrac1{\varepsilon}</math> , כלומר כך ש- <math>\dfrac1{|a_n|}>\varepsilon</math> . <math>\blacksquare</math>
3) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות:
<math>a_n=n</math>, <math>a_n=1+1/n</math>. באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, כלומר בקטע <math>[c+1, \infty)</math> שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
3) ד'. <math>\infty</math> או 0 נקודות. שתי דוגמאות:
<math>a_n=n,a_n=1+\dfrac1n</math> . באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math> , כלומר בקטע <math>[c+1,\infty)</math> שלא מכיל את <math>c</math> כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
x+2 &x\neq 9 \\
x+3 & x=9
\end{matrix}\right.</math>, <math>g(x)=\left\{\begin{matrix}
x+3 &x\neq 9 \\
x+2 & x=9
\end{matrix}\right.</math>
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן <math>f(g(x))=\left\{\begin{matrix}
x+5 &x\neq 9 \\
x+5 & x=9
\end{matrix}\right.=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד4) התשובה היא ד'.
הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}x+2&x\ne9\\x+3&x=9\end{cases},g(x)=\begin{cases}x+3&x\ne9\\x+2&x=9\end{cases}</math>
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץאז ברור שההרכבה רציפה, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים שכן <math>f\fracbigl(g(x)\bigr)=\begin{1cases}{n^{x+5&x\fracne9\\x+5&x=9\end{1}{2}}cases}=x+5</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
<math>f,g</math> אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{2} & x\leq4 \\ 5)4x & else*עבור <math>r=1</math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'.*עבור <math>r=0</math> הטור מתכנס (ל-0) מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1</math> מקבלים <math>\endfrac1{n^{matrix}\right.frac12}}</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע , שמתבדר לפי העיבוי כי <math>(-152\frac12<1</math> .3פוסל את א'.לכן נותרנו רק עם ה',17)שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
הוכחת ב6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא': בשלילה, ג': <math>f(x)=\exists x_1,x_2 \in begin{cases}\mathbbdfrac{Rx}:x1 {2}&x\neq x_2 le4\wedge f(x_1) = f(x_2)\4x&x>4\end{cases}</math>.
בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.
עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math> .
7) הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2\in\R:x_1\ne x_2\and f(xx_1)=\frac{1+xcosx}{x+2}f(x_2)</math>.
בסתירה לכך ש- <math>f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=</math>עולה ממש, שהרי בה"כ <math>=\frac{x_1<x_2</math> ולכן <math>f(cosx-xsinxx_1)<f(x+2x_2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}=\frac{</math> בסתירה להיותם שווים.
xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}</math>
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.;הוכחה<math>f</math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math> . כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math> . מכאן נקבל <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac1{f'(x_0)}</math> , בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן <math>\lim\limits_{y\to y_0}\dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\fracfrac1{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונקציה ההפוכה גזירה ב- <math>x_0</math> . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ-0(זה לא נימוק לגמרי פורמלי). ==חלק ב'==7) <math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{1+x\cos(x)}{x+2}\\f'(x)&=\frac{\bigl(1+x\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2sin02}=\frac{\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)(x+2cos02)-0sin0\bigl(1+x\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}\\&=\frac{x\cos(x)-x^2\sin(x)+2\cos(x)-2x\sin(x)-1-x\cos(x)}{(0x+2)^2} = \frac{2\cos(x)-x\sin(x)(x+2)-1}{(x+2)^2}\\f'(0)&=\frac{2\cos(0)-0\sin(0)(0+2)-1}{4(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14\end{align}</math>
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' במשוואת ישר עם הנקודה <math>\left(0,\frac{1}{2}tfrac12\right)</math>, ונקבל:<math>y=\fracdfrac14x+\dfrac12</math> 8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math> . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה: <math>a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1n\le\frac1{2n}+\fracfrac1{12n}-\frac1n=\frac2{42n}x-\frac1n=0</math>ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י <math>0</math> (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
89) היה במערכי התרגול [[http://math<s>הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד 0 כאשר <math>3nn\to\infty</math>אלא שואפת לאינסוף. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה</s>(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה: )
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>a_{n+1}-a_n=8\frac{1}{2n+1}+left(\fracdfrac{1}{2n+2}-\frac{1n}{n}\leq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\frac{2}{2n}-\frac{1}{right)^n}=0</math>ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה הסדרה חסומה מלרע ע"י 0 (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
<math>8\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac2{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot2-2}=8\left(\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}}\right)^2\cdot\left(1-\frac1{\tfrac{n+2}{2}}\right)^{-2}</math>
9קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1}) הטור מתבדר^2</math> , שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\dfrac8{e^2}>1</math> , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-0 כאשר n שואף לאינסוף1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט ישירות (מה שהתברר כמיותר לאחר מעשה==חלק ג'==10), אפשר להשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של ;הפרכהניקח <math>8(a_n=\fracdfrac{(-1)^n}{n+2},b_n=\dfrac{(-1)^n}{\ln(n)}</math>.
לפי לייבניץ הטור <math>8(\fracdisplaystyle\sum_{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{infty a_n</math> מתכנס, וברור כי <math>b_n\frac{n+2}{2}})^{to0</math> שכן <math>\frac{ln(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-to\frac{1}{infty</math> , אבל המכפלה <math>\frac{n+2}{2}})^{displaystyle\fracsum_{(n+2)=1}{2}})^2\infty a_n\cdot (1-b_n=\fracsum_{n=1}{^\fracinfty\frac1{n+2}{2}}\cdot\ln(n)^{-2}</math>מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)
קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2נגדיר </math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1b_1=0</math>בשביל ענייני תחום-הגדרה, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1ברור שזה לא משנה) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.
11) נגדיר פונקצייה פונקציה <math>h </math> על -ידי <math>\forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2</math>. כעת, נתבונן ב- <math>h(1),h(2),h(3)</math>:
<math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0</math>ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math>, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-<math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math>.
באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל-<math>h </math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math>. כל שורש של <math>h </math> הוא נקודה בה הפונ' הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 זלצמן) ;הוכחה:כיון ש- <math>sin2x</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p\sin(2\cdot0)=\pi0</math> ולכן רציפה במ"ש באז ניתן להגדיר את <math>\mathbb{R}f</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת <math>\mathbb{R}f</math>, ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math>.
ידוע ש- <math>f(x</math> רציפה במ"ש ב<math>)=\mathbbbegin{Rcases}\sin(2x)&x\ge0\\x&x</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>0\mathbbend{Rcases}</math>, ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math>.
לכן <math>\sin(לפי משפט ממערכי התרגול2x) f </math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש באיחוד הקטעיםב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , שהוא הישר הממשי כולוובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math> .
ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math> .
12 קליין) נגדיר פונקצייה לכן h על ידי <math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[0,\forall x \in I: hinfty)</math> וכמו כן ב- <math>(-\infty,0]</math> . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת <math>x)=f0</math> ולכן (xלפי משפט ממערכי התרגול)-x<math>f</math>רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.
<math>
h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>.
לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 </math>, ומכאן ש- <math>f'(x)=1</math>. מש"ל.
12 קליין) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in I:h(x)=f(x)-x</math> .
12 הורוביץ) פונ' רציפה <math>h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c\in I:h'(ויירשטראס IIc)=0</math> . בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונלכן <math>h' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ(c)=(f(x)-x)' תהיה אי=f'(x)-חיובית1=0</math> , בסתירהומכאן <math>f'(x)=1</math> .<math>\blacksquare</math>
12 הורוביץ) פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומיד נקבל סתירה שכן הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונקציה תהיה אי-חיובית, בסתירה. <math>\blacksquare</math>
