שינויים

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]([http://uexams.csmath.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן] )

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפסל-0. <math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי אברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי אברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה דוגמא את ב':

דוגמהדוגמא:<math>a_n=2\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)</math>, <math>b_n=-2\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)</math>.

(נובע ישירות מההגדרותהפרכה לג', שכן אם ד': <math>|a_n|<=\epsilondfrac1n</math> אז . ברור <math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} to0</math>.)פורמלית: יהי אבל <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n lim\limits_{n\to \infty </math> ולכן לכל <math>\frac{1}{\epsilon }</math> קיים <math>N</math> כך ש<math>\forall sqrt[n<N: |]{a_n|<\frac{1}{\epsilon }=1</math>, כלומר כך ש.אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן <math>\frac{1}dfrac1{|a_n|}>\epsilon to\infty</math>. מש"ל.

גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד4) התשובה היא ד'.

5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץאז ברור שההרכבה רציפה, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים שכן <math>f\fracbigl(g(x)\bigr)=\begin{1cases}{n^{x+5&x\fracne9\\x+5&x=9\end{1}{2}}cases}=x+5</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

\frac{x}{2} & x\leq4 \\ 5)4x & else*עבור <math>r=1</math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'.*עבור <math>r=0</math> הטור מתכנס (ל-0) מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1</math> מקבלים <math>\endfrac1{n^{matrix}\right.frac12}}</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע , שמתבדר לפי העיבוי כי <math>(-152\frac12<1</math> .3פוסל את א'.לכן נותרנו רק עם ה',17)שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

הוכחת ב6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא': בשלילה, ג': <math>f(x)=\exists x_1,x_2 \in begin{cases}\mathbbdfrac{Rx}:x1 {2}&x\neq x_2 le4\wedge f(x_1) = f(x_2)\4x&x>4\end{cases}</math>.

מכאן נקבל הוכחת ב': בשלילה, <math>\lim_{xexists x_1,x_2\rightarrow x_0}{in\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=R:x_1\frac{1}{f'(x_0)}</math>, בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן <math>\lim_{y\rightarrow y_0}{ne x_2\frac{and f^{-1}(yx_1)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac{1}{f'(x_0x_2)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה <math>x_0</math>. בכיוון ההפוך, נראה את הcontrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של f, ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).

6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.;הוכחה<math>f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)</math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f</math> גזירה ב-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=<math>x_0</math>ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math> . כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>=\fraclim\limits_{(cosx-xsinx)x\to x_0}\dfrac{f(x+2)-f(1+xcosxx_0)}{(x+2)^2-x_0}=\frac{f'(x_0)</math> .

xcosxמכאן נקבל <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac1{f'(x_0)}</math> , בהנחה שהנגזרת שונה מ-0 . לכן <math>\lim\limits_{y\to y_0}\dfrac{f^2sinx+2cosx{-2xsinx1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-xcosxy_0}=\frac1{f'(x+2x_0)^2}</math>ובפרט קיים. לכן הפונקציה ההפוכה גזירה ב- <math>x_0</math> . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).

 ==חלק ב'==7) <math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{1+x\cos(x)}{x+2}\\f'(0x)&=\frac{\bigl(1+x\cos(x)\bigr)'(x+2)-0\bigl(1+x\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2sin02}=\frac{\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)(x+2cos02)-0sin0\bigl(1+x\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}\\&=\frac{x\cos(x)-x^2\sin(x)+2\cos(x)-2x\sin(x)-1-x\cos(x)}{(0x+2)^2} = \frac{2\cos(x)-x\sin(x)(x+2)-1}{(x+2)^2}\\f'(0)&=\frac{2\cos(0)-0\sin(0)(0+2)-1}{4(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14\end{align}</math>

כעת, נציב במש' במשוואת ישר עם הנקודה <math>\left(0,\frac{1}{2}tfrac12\right)</math>, ונקבל:<math>y=\frac{1}{2}dfrac14x+\frac{1}{4}xdfrac12</math>.

8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math>. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:

<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}frac1{2n+1}+\frac{1}frac1{2n+2}-\frac{1}{n}frac1n\leq le\frac{1}frac1{2n}+\frac{1}frac1{2n}-\frac{1}{n}frac1n=\frac{2}frac2{2n}-\frac{1}{n}frac1n=0</math>ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י <math>0 </math> (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.

9)<s> הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר <math>n שואף לאינסוף, \to\infty</math> אלא שואפת לאינסוף. </s>

בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^n</math> . <math>8\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac2{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot2-2}=8\left(\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}}\right)^2\cdot\left(1-\frac1{\tfrac{n+2}{2}}\right)^{-2}</math> קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math> , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\dfrac8{e^2}>1</math> , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר. ==חלק ג'==10);הפרכהניקח <math>a_n=\dfrac{(-1)^n}{n},b_n=\dfrac{(-1)^n}{\ln(n)}</math>.

לפי לייבניץ הטור <math>8(\fracdisplaystyle\sum_{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{infty a_n</math> מתכנס, וברור כי <math>b_n\frac{n+2}{2}})^{to0</math> שכן <math>\frac{ln(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-to\frac{1}{infty</math> , אבל המכפלה <math>\frac{n+2}{2}})^{displaystyle\fracsum_{(n+2)=1}{2}})^2\infty a_n\cdot (1-b_n=\fracsum_{n=1}{^\fracinfty\frac1{n+2}{2}}\cdot\ln(n)^{-2}</math>מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)

קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2נגדיר </math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1b_1=0</math>, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון בשביל ענייני תחום- זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודןהגדרה, לתלמידי ד"ר שייןברור שזה לא משנה) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.

11) נגדיר פונקצייה פונקציה <math>h </math> על -ידי <math>\forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2</math>. כעת, נתבונן ב- <math>h(1),h(2),h(3)</math>:

<math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0</math>ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math>, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-<math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math>.

באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל-<math>h </math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math>. כל שורש של <math>h </math> הוא נקודה בה הפונ' הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.

12 זלצמן) ;הוכחה:כיון ש- <math>sin2x</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p\sin(2\cdot0)=\pi0</math> ולכן רציפה במ"ש באז ניתן להגדיר את <math>\mathbb{R}f</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת <math>\mathbb{R}f</math>, ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math>.

ידוע ש- <math>f(x</math> רציפה במ"ש ב<math>)=\mathbbbegin{Rcases}\sin(2x)&x\ge0\\x&x</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>0\mathbbend{Rcases}</math>, ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math>.

לכן <math>\sin(לפי משפט ממערכי התרגול2x) f </math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש באיחוד הקטעיםב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , שהוא הישר הממשי כולוובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math> .

12 קליין) נגדיר פונקצייה לכן h על ידי <math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[0,\forall x \in I: hinfty)</math> וכמו כן ב- <math>(-\infty,0]</math> . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת <math>x)=f0</math> ולכן (xלפי משפט ממערכי התרגול)-x<math>f</math>רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.

12 הורוביץ) פונ' רציפה <math>h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c\in I:h'(ויירשטראס IIc)=0</math> . בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונלכן <math>h' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ(c)=(f(x)-x)' תהיה אי=f'(x)-חיובית1=0</math> , בסתירהומכאן <math>f'(x)=1</math> .<math>\blacksquare</math>

12 הורוביץ) פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומיד נקבל סתירה שכן הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונקציה תהיה אי-חיובית, בסתירה. <math>\blacksquare</math>