[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]([http://uexams.csmath.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן] )
==חלק א'==
1) התשובה היא ב'.
שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל-0. <math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר אברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל אברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. <math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב': דוגמהדוגמא:<math>a_n=2\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)</math>, <math>b_n=-2\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)</math>.
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': <math>a_n=1/n</math>. ברור <math>a_n \to 0 </math> אבל <math>\lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1</math>.
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>.
(נובע ישירות מההגדרותהפרכה לג', שכן אם ד': <math>|a_n|<=\epsilondfrac1n</math> אז . ברור <math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} to0</math>.)פורמלית: יהי אבל <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n lim\limits_{n\to \infty </math> ולכן לכל <math>\frac{1}{\epsilon }</math> קיים <math>N</math> כך ש<math>\forall sqrt[n<N: |]{a_n|<\frac{1}{\epsilon }=1</math>, כלומר כך ש.אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן <math>\frac{1}dfrac1{|a_n|}>\epsilon to\infty</math>. מש"ל.
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\varepsilon</math> אז <math>\dfrac1{|a_n|}>\dfrac1{\varepsilon}</math> .)
פורמלית: יהי <math>\varepsilon>0</math> . מתקיים <math>a_n\to\infty</math> ולכן לכל <math>\dfrac1{\varepsilon}</math> קיים <math>N</math> כך ש- <math>\forall n<N:|a_n|<\dfrac1{\varepsilon}</math> , כלומר כך ש- <math>\dfrac1{|a_n|}>\varepsilon</math> . <math>\blacksquare</math>
3) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות:
<math>a_n=n</math>, <math>a_n=1+1/n</math>. באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, כלומר בקטע <math>[c+1, \infty)</math> שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
3) ד'. <math>\infty</math> או 0 נקודות. שתי דוגמאות:
<math>a_n=n,a_n=1+\dfrac1n</math> . באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math> , כלומר בקטע <math>[c+1,\infty)</math> שלא מכיל את <math>c</math> כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
x+2 &x\neq 9 \\
x+3 & x=9
\end{matrix}\right.</math>, <math>g(x)=\left\{\begin{matrix}
x+3 &x\neq 9 \\
x+2 & x=9
\end{matrix}\right.</math>
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן <math>f(g(x))=\left\{\begin{matrix}
x+5 &x\neq 9 \\
x+5 & x=9
\end{matrix}\right.=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד4) התשובה היא ד'.
הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}x+2&x\ne9\\x+3&x=9\end{cases},g(x)=\begin{cases}x+3&x\ne9\\x+2&x=9\end{cases}</math>
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץאז ברור שההרכבה רציפה, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים שכן <math>f\fracbigl(g(x)\bigr)=\begin{1cases}{n^{x+5&x\fracne9\\x+5&x=9\end{1}{2}}cases}=x+5</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
<math>f,g</math> אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{2} & x\leq4 \\ 5)4x & else*עבור <math>r=1</math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'.*עבור <math>r=0</math> הטור מתכנס (ל-0) מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1</math> מקבלים <math>\endfrac1{n^{matrix}\right.frac12}}</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע , שמתבדר לפי העיבוי כי <math>(-152\frac12<1</math> .3פוסל את א'.לכן נותרנו רק עם ה',17)שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
הוכחת ב6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא': בשלילה, ג': <math>f(x)=\exists x_1,x_2 \in begin{cases}\mathbbdfrac{Rx}:x1 {2}&x\neq x_2 le4\wedge f(x_1) = f(x_2)\4x&x>4\end{cases}</math>.
בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.
עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math> .
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.
הוכחה: f עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. f גזירה ב<math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math>. כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> ולכן <math>\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)</math>.
מכאן נקבל הוכחת ב': בשלילה, <math>\lim_{xexists x_1,x_2\rightarrow x_0}{in\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=R:x_1\frac{1}{f'(x_0)}</math>, בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן <math>\lim_{y\rightarrow y_0}{ne x_2\frac{and f^{-1}(yx_1)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac{1}{f'(x_0x_2)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה <math>x_0</math>. בכיוון ההפוך, נראה את הcontrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של f, ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
בסתירה לכך ש- <math>f</math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math>f(x_1)<f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.
== חלק ב' ==
76 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.;הוכחה<math>f(</math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math> . כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>\lim\limits_{x)=\fracto x_0}\dfrac{1+xcosxf(x)-f(x_0)}{x+2-x_0}=f'(x_0)</math>.
מכאן נקבל <math>f'(\lim\limits_{x)=\fracto x_0}\dfrac{(1+xcosx)'x-x_0}{f(x+2)-f(1+xcosxx_0)(x+2)'}=\frac1{f'(x+2x_0)^2}=</math>, בהנחה שהנגזרת שונה מ-0 . לכן <math>=\fraclim\limits_{y\to y_0}\dfrac{f^{(cosx-xsinx)1}(x+2y)-(f^{-1+xcosx)}{(x+2y_0)^2}{y-y_0}=\fracfrac1{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונקציה ההפוכה גזירה ב- <math>x_0</math> . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}</math>
==חלק ב'==7) <math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{1+x\cos(x)}{x+2}\\f'(0x)&=\frac{\bigl(1+x\cos(x)\bigr)'(x+2)-0\bigl(1+x\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2sin02}=\frac{\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)(x+2cos02)-0sin0\bigl(1+x\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}\\&=\frac{x\cos(x)-x^2\sin(x)+2\cos(x)-2x\sin(x)-1-x\cos(x)}{(0x+2)^2} = \frac{2\cos(x)-x\sin(x)(x+2)-1}{(x+2)^2}\\f'(0)&=\frac{2\cos(0)-0\sin(0)(0+2)-1}{4(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14\end{align}</math>
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' במשוואת ישר עם הנקודה <math>\left(0,\frac{1}{2}tfrac12\right)</math>, ונקבל:<math>y=\frac{1}{2}dfrac14x+\frac{1}{4}xdfrac12</math>.
8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math>. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}frac1{2n+1}+\frac{1}frac1{2n+2}-\frac{1}{n}frac1n\leq le\frac{1}frac1{2n}+\frac{1}frac1{2n}-\frac{1}{n}frac1n=\frac{2}frac2{2n}-\frac{1}{n}frac1n=0</math>ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י <math>0 </math> (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
9)<s> הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר <math>n שואף לאינסוף, \to\infty</math> אלא שואפת לאינסוף. </s>
(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8\left(\fracdfrac{n}{n+2}\right)^n</math>.
<math>8\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac{2}frac2{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac{1}frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2cdot2-2}=8\left(\left(1-\frac{1}frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}}\right)^2\cdot \left(1-\frac{1}frac1{\fractfrac{n+2}{2}}\right)^{-2}</math>
קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}dfrac8{e^2}>1</math>, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
== חלק ג' ==10);הפרכהניקח <math>a_n=\dfrac{(-1)^n}{n},b_n=\dfrac{(-1)^n}{\ln(n)}</math> .
10) '''הפרכה:''' ניקח לפי לייבניץ הטור <math>a_n=\fracdisplaystyle\sum_{(-1)^n}{n}</math>, <math>b_n=\frac{(-1)}^n}{logn}</math>.לפי לייבניץ הטור <math>\sum infty a_n</math> מתכנס, וברור שכי <math>b_n \to0</math> שואפת ל0 שכן <math>logn \ln(n)\to \infty</math>, אבל המכפלה <math>\sum a_nb_ndisplaystyle\sum_{n=1}^\sum infty a_n\fraccdot b_n=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\cdot \ln(n)}</math> מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל :)
(נגדיר <math>b_1=0</math> בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)
11) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2</math>. כעת, נתבונן ב<math>h(1),h(2),h(3)</math>:
<math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0
</math>
ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0
</math>, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-<math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math>.
באותו האופן, 11) נגדיר פונקציה <math>h(</math> על-ידי <math>\forall x\in[-1,1]:h(x)=f(-1x)-(-1)x^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל. כעת, נתבונן ב-<math>h </math> שורש בקטע <math>(-1),0h(2),h(3)</math>. כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.:
<math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0</math> ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math> , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- <math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math> .
12 זלצמן) הוכחה:מכיון ש באותו האופן, <math>sinh(2\cdot 0-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> אז ניתן להגדיר את ולכן יש ל- <math>fh</math> "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת שורש בקטע <math>f(-1,0)</math>).כל שורש של <math>f(x)= sin(2x) \ \forall x\geq 0 h</math>הוא נקודה בה הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
<math>f(x)= x\ \forall x\leq 0 </math>.
12 זלצמן);הוכחהכיון ש- <math>sin2x</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p\sin(2\cdot0)=\pi0</math> ולכן רציפה במ"ש באז ניתן להגדיר את <math>\mathbb{R}f</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת <math>\mathbb{R}f</math>, ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math>.
ידוע ש- <math>f(x</math> רציפה במ"ש ב<math>)=\mathbbbegin{Rcases}\sin(2x)&x\ge0\\x&x</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>0\mathbbend{Rcases}</math>, ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math>.
לכן f רציפה במ"ש ב<math>[0,\inftysin(2x)</math> וכמו כן ברציפה ובעלת מחזור <math>(p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב-<math>\infty,0]R</math>. לקרנות הנולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל יש נקודה משותפת (אפס) ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) - <math>f\R</math> רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולוובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math> .
ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math> .
12 קליין) נגדיר פונקצייה לכן h על ידי <math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[0,\forall x \in I: hinfty)</math> וכמו כן ב- <math>(-\infty,0]</math> . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת <math>x)=f0</math> ולכן (xלפי משפט ממערכי התרגול)-x<math>f</math>רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.
<math>
h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>.
לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 </math>, ומכאן ש- <math>f'(x)=1</math>. מש"ל.
12 קליין) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in I:h(x)=f(x)-x</math> .
12 הורוביץ) פונ' רציפה <math>h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c\in I:h'(ויירשטראס IIc)=0</math> . בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונלכן <math>h' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ(c)=(f(x)-x)' תהיה אי=f'(x)-חיובית1=0</math> , בסתירהומכאן <math>f'(x)=1</math> .<math>\blacksquare</math>
12 הורוביץ) פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומיד נקבל סתירה שכן הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונקציה תהיה אי-חיובית, בסתירה. <math>\blacksquare</math>
