הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"

גרסה מ־10:56, 8 בפברואר 2016

חלק א'

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל- $0$ . $a_n$ היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י $b_1$ (באינדוקציה - $b_1$ גדולה יותר מכל שאר איברי $b$ שגדולים יותר מכל איברי $a$ ) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, $b_n$ היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י $a_1$ ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':

דוגמא: $a_n=2(1+\frac1{n})$ , $b_n=-2(1+\frac1{n})$ .

2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': $a_n=\frac1{n}$ . ברור $a_n\to 0$ אבל $\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=1$ . אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן $\frac1{|a_n|}\to\infty$ .

(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם $|a_n|<\epsilon$ אז $\frac1{|a_n|}>\frac1{\epsilon}$ .) פורמלית: יהי $\epsilon>0$ . מתקיים $a_n\to\infty$ ולכן לכל $\frac1{\epsilon}$ קיים $N$ כך ש- $\forall n<N: |a_n|<\frac1{\epsilon}$ , כלומר כך ש- $\frac1{|a_n|}>\epsilon$ . מש"ל.

3) ד'. $\infty$ או $0$ נק'. שתי דוגמאות: $a_n=n$ , $a_n=1+\frac1{n}$ . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה $x=c$ בחיתוך ונתבונן במקום $n=c+1$ , כלומר בקטע $[c+1,\infty)$ שלא מכיל את $c$ כלל, בסתירה.

4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר $f(x)=\left\{\begin{matrix} x+2 &x\ne 9 \\ x+3 & x=9 \end{matrix}\right.$ , $g(x)=\left\{\begin{matrix} x+3 &x\ne 9 \\ x+2 & x=9 \end{matrix}\right.$

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן $f\bigl(g(x)\bigr)=\left\{\begin{matrix} x+5 &x\ne 9 \\ x+5 & x=9 \end{matrix}\right.=x+5$ והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות.

גם $f$ וגם $g$ אינן רציפות ב- $9$ , ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.

5) עבור $r=1$ מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור $r=0$ הטור מתכנס (ל- $0$ ) מה שפוסל את ב'. עבור $r=-1$ מקבלים $\frac1{n^{\frac12}}$ , שמתבדר לפי העיבוי כי $\frac12<1$ . פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור $-1<r<1$ , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} & x\le4 \\ 4x & \mbox{else}\end{matrix}\right.$

עולה ממש ואינה רציפה בקטע $(-152.3,17)$ .

הוכחת ב': בשלילה, $\exists x_1,x_2\in\R:x1\ne x_2 \wedge f(x_1)=f(x_2)$ .

בסתירה לכך ש- $f$ עולה ממש, שהרי בה"כ $x_1<x_2$ ולכן $f(x_1)<f(x_2)$ בסתירה להיותם שווים.

6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8. הוכחה: $f$ עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. $f$ גזירה ב $x_0$ ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת $y_0$ . כעת, לפי ההנחה $f$ גזירה ב- $x_0$ ולכן $\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)$ .

מכאן נקבל $\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac1{f'(x_0)}$ , בהנחה שהנגזרת שונה מ- $0$ . לכן $\lim\limits_{y\to y_0}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac1{f'(x_0)}$ ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה $x_0$ . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של $f$ , ולכן הנגזרת שונה מ- $0$ (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).

חלק ב'

7) $f(x)=\frac{1+x\cdot\cos(x)}{x+2}$ .

$f'(x)=\frac{\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2}=$ $=\frac{\bigl(\cos(x)-x\cdot\sin(x)\bigr)(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}=\frac{x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x)+2\cos(x)-2x\cdot\sin(x)-1-x\cdot\cos(x)}{(x+2)^2}$

$f'(0)=\frac{-0^2\cdot\sin(0)+2\cos(0)-0\sin(0)-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14$

זהו שיפוע המשיק.

כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה $(0,\frac12)$ , ונקבל: $y=\frac12+\frac14x$ .

8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד $3n$ . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:

$a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n}\le\frac1{2n}+\frac1{2n}-\frac1{n}=\frac2{2n}-\frac1{n}=0$ ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י $0$ (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.

9) ~~הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל- $0$ כאשר $n$ שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף.~~ (המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)

בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של $8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n$ .

$8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n=8\Big(1-\frac2{n+2}\Big)^n=8\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8\Bigg(\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}}\Bigg)^2\cdot\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{-2}$

קיבלנו גורם 8, גורם $(e^{-1})^2$ , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא $\frac{8}{e^2}>1$ , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.

חלק ג'

10) הפרכה: ניקח $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$ , $b_n=\frac{(-1)^n}{\log(n)}$ . לפי לייבניץ הטור $\sum a_n$ מתכנס, וברור ש- $b_n$ שואפת ל- $0$ שכן $\log(n)\to\infty$ , אבל המכפלה $\sum a_n\cdot b_n=\sum\frac1{n\cdot\ln(n)}$ מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)

(נגדיר $b_1=0$ בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)

11) נגדיר פונקצייה $h$ על-ידי $\forall x\in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2$ . כעת, נתבונן ב- $h(1),h(2),h(3)$ :

$h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0$ ואילו $h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0$ , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- $h$ יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע $(0,1)$ .

באותו האופן, $h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0$ ולכן יש ל- $h$ שורש בקטע $(-1,0)$ . כל שורש של $h$ הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.

12 זלצמן) הוכחה: מכיון ש- $\sin(2\cdot 0)=0$ אז ניתן להגדיר את $f$ "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת $f$ ). $f(x)=\sin(2x) \ \forall x\ge 0$ .

$f(x)=x\ \forall x\le 0$ .

$\sin(2x)$ רציפה ובעלת מחזור $p=\pi$ ולכן רציפה במ"ש ב- $\R$ ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- $\R$ , ובפרט בקרן החיובית הסגורה $[0,\infty)$ .

ידוע ש- $x$ רציפה במ"ש ב- $\R$ ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- $\R$ , ובפרט בקרן השלילית הסגורה $(-\infty,0]$ .

לכן $f$ רציפה במ"ש ב- $[0,\infty)$ וכמו כן ב- $(-\infty,0]$ . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת ( $0$ ) ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) $f$ רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.

12 קליין) נגדיר פונקציה $h$ על-ידי $\forall x\in I: h(x)=f(x)-x$ .

$h$ מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע $I$ ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר $\exists c\in I: h'(c)=0$ . לכן $h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0$ , ומכאן ש- $f'(x)=1$ . מש"ל.

12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה. $\blacksquare$

@@ שורה 3: / שורה 3: @@
 ==חלק א'==
+) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל- <math>0</math> .
+<math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':
+דוגמא: <math>a_n=2(1+\frac1{n})</math> , <math>b_n=-2(1+\frac1{n})</math> .
-) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס.
-<math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':
-דוגמה:
-<math>a_n=2(1+\frac{1}{n})</math>, <math>b_n=-2(1+\frac{1}{n})</math>.
 ) התשובה היא ב'.
-הפרכה לג', ד': <math>a_n=1/n</math>. ברור <math>a_n \to 0 </math> אבל <math>\lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1</math>.
+הפרכה לג', ד': <math>a_n=\frac1{n}</math> . ברור <math>a_n\to 0</math> אבל <math>\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=1</math> .
-אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
+אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן <math>\frac1{|a_n|}\to\infty</math> .
-ב' נכון שכן <math>\frac{1}{|a_n|} \to \infty </math>.
-(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\epsilon</math> אז <math>\frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} </math>.)
+(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\epsilon</math> אז <math>\frac1{|a_n|}>\frac1{\epsilon}</math> .)
-פורמלית: יהי <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n \to \infty </math> ולכן לכל <math>\frac{1}{\epsilon }</math> קיים <math>N</math> כך ש<math>\forall n<N: |a_n|<\frac{1}{\epsilon }</math>, כלומר כך ש<math>\frac{1}{|a_n|}>\epsilon </math>. מש"ל.
+פורמלית: יהי <math>\epsilon>0</math> . מתקיים <math>a_n\to\infty</math> ולכן לכל <math>\frac1{\epsilon}</math> קיים <math>N</math> כך ש- <math>\forall n<N: |a_n|<\frac1{\epsilon}</math>, כלומר כך ש- <math>\frac1{|a_n|}>\epsilon</math> . מש"ל.
-) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות:
+) ד'. <math>\infty</math> או <math>0</math> נק'. שתי דוגמאות:
-<math>a_n=n</math>, <math>a_n=1+1/n</math>. באחת יש אינסוף נקודות
+<math>a_n=n</math> , <math>a_n=1+\frac1{n}</math> . באחת יש אינסוף נקודות
-(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, כלומר בקטע <math>[c+1, \infty)</math> שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
+(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, כלומר בקטע <math>[c+1,\infty)</math> שלא מכיל את <math>c</math> כלל, בסתירה.
-) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
+) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר
-x+2 &x\neq 9 \\
+<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
+x+2 &x\ne 9 \\
 x+3 & x=9
 \end{matrix}\right.</math>, <math>g(x)=\left\{\begin{matrix}
-x+3 &x\neq 9 \\
+x+3 &x\ne 9 \\
 x+2 & x=9
 \end{matrix}\right.</math>
-אז ברור שההרכבה רציפה, שכן <math>f(g(x))=\left\{\begin{matrix}
+אז ברור שההרכבה רציפה, שכן
-x+5 &x\neq 9 \\
+<math>f\bigl(g(x)\bigr)=\left\{\begin{matrix}
+x+5 &x\ne 9 \\
 x+5 & x=9
-\end{matrix}\right.=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
+\end{matrix}\right.=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות.
-גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
+גם <math>f</math> וגם <math>g</math> אינן רציפות ב- <math>9</math> , ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.
-) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים <math>\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.
+) עבור <math>r=1</math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור <math>r=0</math> הטור מתכנס (ל- <math>0</math>) מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1</math> מקבלים <math>\frac1{n^{\frac12}}</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי <math>\frac12<1</math> . פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math> , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
-(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
-הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
+הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג':
+<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} & x\le4 \\ 4x & \mbox{else}\end{matrix}\right.</math>
-\frac{x}{2} & x\leq4 \\
-x & else
-\end{matrix}\right.</math> עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math>.
+עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math> .
-הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2  \wedge  f(x_1) = f(x_2)</math>.
-בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math>  f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.
+הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2\in\R:x1\ne x_2 \wedge f(x_1)=f(x_2)</math>.
+בסתירה לכך ש- <math>f</math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math>f(x_1)<f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים.
 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.
-הוכחה: f עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. f גזירה ב<math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math>. כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> ולכן <math>\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)</math>.
+הוכחה: <math>f</math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math> . כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)</math> .
-מכאן נקבל <math>\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>, בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן <math>\lim_{y\rightarrow y_0}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac{1}{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה <math>x_0</math>. בכיוון ההפוך, נראה את הcontrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של f, ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
+מכאן נקבל <math>\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac1{f'(x_0)}</math> , בהנחה שהנגזרת שונה מ- <math>0</math> . לכן <math>\lim\limits_{y\to y_0}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac1{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה <math>x_0</math> . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ- <math>0</math> (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
-== חלק ב' ==
+==חלק ב'==
-) <math>f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}</math>.
+) <math>f(x)=\frac{1+x\cdot\cos(x)}{x+2}</math> .
-<math>f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=</math>
+<math>f'(x)=\frac{\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2}=</math>
-<math>=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}=\frac{
+<math>=\frac{\bigl(\cos(x)-x\cdot\sin(x)\bigr)(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}=\frac{x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x)+2\cos(x)-2x\cdot\sin(x)-1-x\cdot\cos(x)}{(x+2)^2}</math>
-xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}</math>
+<math>f'(0)=\frac{-0^2\cdot\sin(0)+2\cos(0)-0\sin(0)-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14</math>
-<math>f'(0)=\frac{-0^2sin0+2cos0-0sin0-1}{(0+2)^2} = \frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4}</math>
 זהו שיפוע המשיק.
-כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה <math>(0,\frac{1}{2})</math>, ונקבל:
+כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה <math>(0,\frac12)</math> , ונקבל:
-<math>y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x</math>.
+<math>y=\frac12+\frac14x</math> .
 ) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math>. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
-<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\frac{2}{2n}-\frac{1}{n}=0</math>
+<math>a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n}\le\frac1{2n}+\frac1{2n}-\frac1{n}=\frac2{2n}-\frac1{n}=0</math>
-ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה הסדרה חסומה מלרע ע"י 0 (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
+ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י <math>0</math> (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
-)<s> הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר n שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף. </s>
+)<s> הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל- <math>0</math> כאשר <math>n</math> שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף. </s>
 (המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)
-בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8(\frac{n}{n+2})^n</math>.
+בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n</math> .
-<math>8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}</math>
+<math>8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n=8\Big(1-\frac2{n+2}\Big)^n=8\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8\Bigg(\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}}\Bigg)^2\cdot\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{-2}</math>
-קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1</math>, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
+קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math> , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1</math> , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
-== חלק ג' ==
+==חלק ג'==
+) '''הפרכה:''' ניקח <math>a_n=\frac{(-1)^n}{n}</math> , <math>b_n=\frac{(-1)^n}{\log(n)}</math> .
+לפי לייבניץ הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, וברור ש- <math>b_n</math> שואפת ל- <math>0</math> שכן <math>\log(n)\to\infty</math> , אבל המכפלה <math>\sum a_n\cdot b_n=\sum\frac1{n\cdot\ln(n)}</math> מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)
-) '''הפרכה:''' ניקח <math>a_n=\frac{(-1)^n}{n}</math>,  <math>b_n=\frac{(-1)^n}{logn}</math>.
-לפי לייבניץ הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, וברור ש<math>b_n </math> שואפת ל0 שכן <math>logn \to \infty</math>, אבל המכפלה <math>\sum a_nb_n=\sum \frac{1}{n\cdot ln(n)}</math> מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל :)
 (נגדיר <math>b_1=0</math> בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)
-) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2</math>. כעת, נתבונן ב<math>h(1),h(2),h(3)</math>:
+) נגדיר פונקצייה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2</math> . כעת, נתבונן ב- <math>h(1),h(2),h(3)</math> :
-<math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0
+<math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0</math> ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math> , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- <math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math> .
-</math>
-ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0
-</math>, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-<math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math>.
-באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל-<math>h </math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math>. כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
+באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל- <math>h</math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math> . כל שורש של <math>h</math> הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
 זלצמן) הוכחה:
-מכיון ש <math>sin(2\cdot 0)=0</math>  אז ניתן להגדיר את <math>f</math> "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת <math>f</math>).
+מכיון ש- <math>\sin(2\cdot 0)=0</math> אז ניתן להגדיר את <math>f</math> "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת <math>f</math>). <math>f(x)=\sin(2x) \ \forall x\ge 0</math>.
-<math>f(x)= sin(2x) \ \forall x\geq 0 </math>.
-<math>f(x)= x\ \forall x\leq 0 </math>.
-<math>sin2x</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב<math>\mathbb{R}</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\mathbb{R}</math>, ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math>.
-ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש ב<math>\mathbb{R}</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\mathbb{R}</math>, ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math>.
+<math>f(x)=x\ \forall x\le 0</math>.
-לכן  f רציפה במ"ש ב<math>[0,\infty)</math> וכמו כן ב<math>(-\infty,0]</math>. לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת (אפס) ולכן   (לפי משפט ממערכי התרגול) <math>f</math> רציפה  באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.
+<math>\sin(2x)</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל-  <math>\R</math> , ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math> .
+ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math> .
-קליין) נגדיר פונקצייה  h על ידי <math>\forall x \in I: h(x)=f(x)-x</math>.
+לכן  <math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[0,\infty)</math> וכמו כן ב- <math>(-\infty,0]</math> . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת (<math>0</math>) ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) <math>f</math> רציפה  באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.
-<math>
-h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>.
-לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 </math>, ומכאן ש- <math>f'(x)=1</math>. מש"ל.
+קליין) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in I: h(x)=f(x)-x</math> .
-הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.
+<math>h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c\in I: h'(c)=0</math> . לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 </math>, ומכאן ש- <math>f'(x)=1</math> . מש"ל.
-<math>\blacksquare</math>
+הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה. <math>\blacksquare</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"

גרסה מ־10:56, 8 בפברואר 2016

חלק א'

חלק ב'

חלק ג'

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים