פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

(המבחן)

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. דוגמה: a_n=2(1+\frac{1}{n}), b_n=-2(1+\frac{1}{n}).


2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': an=1/n. ברור a_n \to \infty אבל \lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1. אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן \frac{1}{|a_n|} \to \infty .


3) ד'. \infty או 0 נק'. שתי דוגמאות: a_n=n, a_n=1+1/n. באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה x=c בחיתוך ונתבונן במקום n=c+1, שלא מכיל את c כלל, בסתירה.


4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר f(x)=\left\{\begin{matrix}
x+2 &x\neq 9 \\ 
x+3 & x=9
\end{matrix}\right., g(x)=\left\{\begin{matrix}
x+3 &x\neq 9 \\ 
x+2 & x=9
\end{matrix}\right.

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן f(g(x))=\left\{\begin{matrix}
x+5 &x\neq 9 \\ 
x+5 & x=9
\end{matrix}\right.=x+5 והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.

גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.

5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור -1<r<1, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': f(x)=\left\{\begin{matrix}

\frac{x}{2} & x\leq4 \\ 
4x & else
\end{matrix}\right. עולה ממש ואינה רציפה בקטע (-152.3,17).


הוכחת ב': בשלילה, \exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2  \wedge  f(x_1) = f(x_2).

בסתירה לכך ש f עולה ממש, שהרי בה"כ x_1<x_2 ולכן   f(x_1) < f(x_2) בסתירה להיותם שווים.

7) f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}.

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): f'(x)=\frac{(1+xcosx)'{x+2}-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}==xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2


8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה.