פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

(המבחן)


1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. a_n היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י b_1 (באינדוקציה - b_1 גדולה יותר מכל שאר איברי b שגדולים יותר מכל איברי a) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, b_n היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':

דוגמה: a_n=2(1+\frac{1}{n}), b_n=-2(1+\frac{1}{n}).


2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': a_n=1/n. ברור a_n \to \infty אבל \lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1. אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן \frac{1}{|a_n|} \to \infty .

(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם |a_n|<\epsilon אז \frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\epsilon} . פורמלית: יהי  \epsilon>0. מתקיים a_n \to \infty ולכן לכל \frac{1}{\epsilon } קיים N כך ש\forall n<N: |a_n|<\frac{1}{\epsilon }, כלומר כך ש\frac{1}{|a_n|}>\epsilon . מש"ל.


3) ד'. \infty או 0 נק'. שתי דוגמאות: a_n=n, a_n=1+1/n. באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה x=c בחיתוך ונתבונן במקום n=c+1, שלא מכיל את c כלל, בסתירה.


4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר f(x)=\left\{\begin{matrix}
x+2 &x\neq 9 \\ 
x+3 & x=9
\end{matrix}\right., g(x)=\left\{\begin{matrix}
x+3 &x\neq 9 \\ 
x+2 & x=9
\end{matrix}\right.

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן f(g(x))=\left\{\begin{matrix}
x+5 &x\neq 9 \\ 
x+5 & x=9
\end{matrix}\right.=x+5 והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.

גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.


5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}, שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור -1<r<1, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)


6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': f(x)=\left\{\begin{matrix}

\frac{x}{2} & x\leq4 \\ 
4x & else
\end{matrix}\right. עולה ממש ואינה רציפה בקטע (-152.3,17).


הוכחת ב': בשלילה, \exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2  \wedge  f(x_1) = f(x_2).

בסתירה לכך ש f עולה ממש, שהרי בה"כ x_1<x_2 ולכן   f(x_1) < f(x_2) בסתירה להיותם שווים.


7) f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2}.

f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}\frac{=

xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2}

f'(0)=\frac{-0^2sin0+2cos0-0sin0-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4}

זהו שיפוע המשיק.

כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה (0,\frac{1}{2}), ונקבל: y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x.


8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא מונוטונית וחסומה.


9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של 8(\frac{n}{n+2})^n.

8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}

קיבלנו גורם 8, גורם (e^{-1})^2, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא \frac{8}{e^2}>1, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.


11) נגדיר פונקצייה h על ידי \forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2. כעת, נתבונן בh(1),h(2),h(3):

h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0
ואילו h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0
, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-h יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע (0,1).

באותו האופן, h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0 ולכן יש ל-h שורש בקטע (-1,0). כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.


12 זלצמן) הוכחה: sin2x רציפה ובעלת מחזור p=\pi ולכן רציפה במ"ש ב\mathbb{R} ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- \mathbb{R}, ובפרט בקרן החיובית הסגורה [0,\infty).

ידוע ש- x רציפה במ"ש ב\mathbb{R} ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- \mathbb{R}, ובפרט בקרן השלילית הסגורה (\infty,0]. לכן (לפי משפט ממערכי התרגול) f רציפה במ"ש באיחוד הקטעים, שהוא הישר הממשי כולו.


12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי \forall x \in I: h(x)=f(x)-x. h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע I ולכן לפי משפט רול קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר \exists c \in I: h'(c)=0. לכן h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0\Rightarrow f'(x)=1. מש"ל.


12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.


\blacksquare