הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 59: שורה 59:
 
8) '''הוכחה:''' מכיוון שנתון ש <math>a_n</math> חיובית, גם <math>\frac{1}{a_n}</math> חיובית. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים  
 
8) '''הוכחה:''' מכיוון שנתון ש <math>a_n</math> חיובית, גם <math>\frac{1}{a_n}</math> חיובית. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים  
 
<math>\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math> ולכן הטור המבוקש מתכנס :)
 
<math>\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math> ולכן הטור המבוקש מתכנס :)
 +
  
 
9) <math>f(x)=x^{3x}</math>. נגזור:
 
9) <math>f(x)=x^{3x}</math>. נגזור:
שורה 85: שורה 86:
  
 
דוגמה פשוטה היא <math>2x</math>.
 
דוגמה פשוטה היא <math>2x</math>.
 +
  
 
12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל<math>x_n</math> תת סדרה מתכנסת <math>\left \{ x_{n_k} \right \}</math>. נסמן גבולה ב-<math>L</math>. היא מקיימת את הדרוש, שכן  
 
12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל<math>x_n</math> תת סדרה מתכנסת <math>\left \{ x_{n_k} \right \}</math>. נסמן גבולה ב-<math>L</math>. היא מקיימת את הדרוש, שכן  
שורה 96: שורה 98:
 
13) היה בשיעורי הבית. (מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)
 
13) היה בשיעורי הבית. (מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)
  
14) הוכחה: ידוע שהרכבת פונ' רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.  
+
14 זלצמן וינץ) הוכחה: ידוע שהרכבת פונ' רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.  
  
 
<math>sinx, \sqrt{x}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>sin\circ \sqrt{x}</math> רבמ"ש.
 
<math>sinx, \sqrt{x}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>sin\circ \sqrt{x}</math> רבמ"ש.
  
  
14) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}, h(x)=\frac{1}{x}</math>.  
+
14 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}, h(x)=\frac{1}{x}</math>.  
  
 
מתקיים: <math>g'(x)=(\frac{f(x)}{x})'=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}</math> וגם <math>
 
מתקיים: <math>g'(x)=(\frac{f(x)}{x})'=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}</math> וגם <math>

גרסה מ־06:31, 2 בפברואר 2012

(המבחן )

1) נכון. זאת ההגדרה.

2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.


3) הוכחה: יהי  \epsilon>0.

\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon

\lim_{n \to \infty }{}a_n-b_n=a-b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n-b_n-(a-b)|<\epsilon )

נגדיר: N\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}.


אז לכל n \geq N מתקיים  |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon \wedge |a_n-b_n-(a-b)|<\epsilon ), כלומר  |a_n-a+b_n-b|<\epsilon \wedge |a_n-a-(b_n-b)|<\epsilon ,

נחבר את שני האי-שוויונים:  |a_n-a+b_n-b|+|a_n-a-(b_n-b)|<2\epsilon

אבל לפי אי-שוויון המשולש 2|a_n-a|=|2(a_n-a)|=|a_n-a+b_n-b+a_n-a-(b_n-b)|   \leq  |a_n-a+b_n-b|+|a_n-a-(b_n-b)|<2\epsilon 
. נצמצם ב2 ונקבל ש\lim_{n \to \infty }{a_n}=a. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור b.

מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))


4)הוכחה: הטור מתכנס לפי הנתון (ל0). ע"י שינוי סדר איברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימן אכן קיים טור כדרוש.

5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי  \epsilon>0 (התחלה מקורית).

מהנתון על f נובע ש \exists M \in \mathbb{R}:\forall x \in (a,b): |f(x)|<M .

מהנתון על g נובע ש \exists \delta >0:\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon }{M}.

כעת, עבור \delta הנ"ל, \forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |f(x)g(x)|=|f(x)|\cdot |g(x)|<M\cdot \frac{\epsilon }{M}=\epsilon ., כנדרש.


6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה f|_{R^+} היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)

יהי y>0. נגדיר h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y. h(0)=-y<0, ואילו מכיוון ש \lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty 
, קיימת נקודה d עבורה h(d)>0. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה x בקטע (0,d) שבה h(x)=0, כלומר f(x)=y!


7) הפרכה: נתבונן בפונ'  
f(x)=\left\{\begin{matrix}
1 &x\geq 3 \\ 
-1 & x<3
\end{matrix}\right.
בקטע I=\mathbb{R}.

ברור שf אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל f^2 היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.

8) הוכחה: מכיוון שנתון ש a_n חיובית, גם \frac{1}{a_n} חיובית. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1 ולכן הטור המבוקש מתכנס :)


9) f(x)=x^{3x}. נגזור:

f'(x)=(x^{3x})'=(e^{3xlnx})'=e^{3xlnx}\cdot (3xlnx)'=x^{3x}\cdot (3lnx+3).

נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: f'(2)=2^{6}\cdot (3ln2+3).

f(2)=2^{6}. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל:

y=2^{6}+2^{6}\cdot (3ln2+3)(x-2)= 192(x-2)(1+ln(2))+64.


10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה ל- \sum \frac{(-1)^n(3+\frac{1}{n})^n}{(1+\frac{1}{n})^{n^2}}.

נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של \frac{(3+\frac{1}{n})}{(1+\frac{1}{n})^{n}}.

מתקיים \lim_{n \to \infty }\frac{(3+\frac{1}{n})}{(1+\frac{1}{n})^{n}}=\frac{3}{e}>1, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).


11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה -  (f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c).

לכן הנגזרת המבוקשת היא (f(f(f(x))))'=(f\circ f(f(x)))'=(f\circ g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)=f'(f(f(x)))\cdot (f(f(x)))'=f'(f(f(x)))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x).

נציב את הנקודה הנתונה: f'(f(f(0)))\cdot f'(f(0))\cdot f'(0)=f'(f(0))\cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8. לכן בסה"כ 8.

דוגמה פשוטה היא 2x.


12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לx_n תת סדרה מתכנסת \left \{ x_{n_k} \right \}. נסמן גבולה ב-L. היא מקיימת את הדרוש, שכן

\lim_{k \to \infty } x_{n_k}=\lim_{k \to \infty } x_{n_{k+1}}=L ולכן לפי אריתמטיקת גבולות מתקיים:

\lim_{k \to \infty } x_{n_{k+1}}-x_{n_k}=L-L=0 כנדרש.


13) היה בשיעורי הבית. (מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)

14 זלצמן וינץ) הוכחה: ידוע שהרכבת פונ' רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.

sinx, \sqrt{x} הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה sin\circ \sqrt{x} רבמ"ש.


14 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות g(x)=\frac{f(x)}{x}, h(x)=\frac{1}{x}.

מתקיים: g'(x)=(\frac{f(x)}{x})'=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2} וגם 
h'(x)=-\frac{1}{x^2}.


כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל:


קיימת נקודה c \in (x_1,x_2) שבה מתקיים:\frac{g'(c)}{h'(c)} =\frac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}.

נפשט את שני אגפי השוויון הקודם: \frac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}=\frac{\frac{f(x_2)}{x_2}-\frac{f(x_1)}{x_1}}{\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}}=\frac{\frac{x_1f(x_2)-f(x_1)x_2}{x_1x_2}}{\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}}=\frac{x_1f(x_2)-f(x_1)x_2}{x_1-x_2}

ובאגף השני - \frac{g'(c)}{h'(c)} =\frac{\frac{cf'(c)-f(c)}{c^2}}{-\frac{1}{c^2}}=-(cf'(c)-f(c))

ובסך הכל קיבלנו את הדרוש:

-(cf'(c)-f(c))=\frac{x_1f(x_2)-f(x_1)x_2}{x_1-x_2}\Rightarrow f(c)-cf'(c)=\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}

\blacksquare