שינויים

== חלק א' == 

3);הוכחהיהי <math>\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon varepsilon>0</math>.

<math>\begin{align}\lim_{n \to \infty }{}\Big[a_n-+b_n\Big]=a-+b\ \Rightarrow \ \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n >N_1\in to\mathbbBig|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\varepsilon\\\lim_{Nn\to\infty}\Big[a_n-b_n\Big]=a-b\ \Rightarrow\ \exists N_2\in\N: (\forall n>N_2\geq Nto\rightarrow Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )varepsilon\end{align}</math>

נגדיר:<math>N=\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}</math>.

אז לכל <math>n \geq N</math> מתקיים <math> begin{align}\Big|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\epsilon varepsilon\and\wedge Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )</math>, כלומר <math> varepsilon\\\Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\wedge and\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\end{align}</math>,

נחבר את שני האיאי-שוויוניםהשוויונות: <math> \Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|+\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon</math>

אבל לפי אי-שוויון המשולש  <math>\begin{align}2|a_n-a|=\big|2(a_n-a)\big|&=\Big|(a_n-a)+(b_n-b)+(a_n-a)-(b_n-b)\Big| \leq \&\le\Big|a_n-a+(b_n-b)\Big|+\Big|a_n-a-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon\end{align}</math>.  נצמצם ב2 ב-2 ונקבל ש<math>\lim_lim\limits_{n \to \infty }{a_n}=a</math>. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור <math>b</math> .

''';דרך טיפה יותר אלגנטית'''<math>\displaystyle\begin{align}a_n=\fracdfrac{1}{2}((a_n+b_n)+(a_n-b_n))}{2}&,&b_n&=\fracdfrac{1}{2}((a_n+b_n)-(a_n-b_n))</math>ולכן על פי אריתמטיקה <math>a_n}{2}\\\lim_{n\to \infty}a_n=\frac{(a+b)+(a-b)/}{2}=a&,b_n&\lim_{n\to \infty}b_n&=\frac{(a+b)-(a+-b)/}{2}=b\end{align}</math>

4);הוכחההטור מתכנס לפי הנתון ל-0. ע"י שינוי סדר אברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימאן אכן קיים טור כדרוש.  5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי <math> \epsilon>0</math> (התחלה מקורית).

6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה שהפונקציה <math>f|_{\R^+}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)

יהי <math>y>0</math>. נגדיר <math>h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y</math>. <math>h(0)=-y<0</math>, ואילו מכיוון ש <math>\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty </math>, קיימת נקודה d עבורה <math>h(d)>0</math>. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה <math>x</math> בקטע <math>(0,d)</math> שבה <math>h(x)=0</math>, כלומר <math>f(x)=y</math>!

ברור ש7) הפרכה: נתבונן בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\ge3\\-1&x<3\end{cases}</math> אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל בקטע <math>f^2I=\R</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.

8) '''הוכחה:''' מכיוון שנתון ש ברור כי <math>a_nf</math> חיוביתאינה רציפה ב-3, גם משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>\frac{1}{a_n}f^2</math> חיוביתהיא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים <math>\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math> ולכן הטור המבוקש מתכנס :)

==חלק ב'==9) <math>f(x)=x^{3x}</math>. נגזור:

<math>\begin{align}f(x)&=x^{3x}\\f'(x)&=\frac{d}{dx}(x^{3x})'=\frac{d}{dx}\big(e^{3xlnx3x\ln(x)}\big)'=e^{3xlnx3x\ln(x)}\cdot \frac{d}{dx}\big(3xlnx3x\ln(x)\big)'=x3x^{3x}\cdot \big(3lnx\ln(x)+31\big)\end{align}</math>.

נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: <math>f'(2)=23\cdot2^{6}\cdot big(3ln2\ln(2)+31\big)=192\big(1+\ln(2)\big)</math>.

<math>f(2)=2^{6}64</math>. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל:

<math>y=2^{6}64+2^{6}192\cdot big(3ln21+3\ln(2)\big)(x-2)= 192(x-2)\big(1+\ln(2)\big)x+64-384\big(\ln(2)+1\big)</math>.

10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה ל- <math>\sum displaystyle\fracsum_{(-n=1)}^n\infty\left(-\frac{3+\frac{1}{n})^nfrac1n}{\left(1+\frac{1}{frac1n\right)^n}\right)^{n^2}}</math>.

נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math>\fracdfrac{(3+\frac{1}{n})frac1n}{\left(1+\frac{1}{n}frac1n\right)^{n}}</math>.

מתקיים <math>\lim_lim\limits_{n \to \infty }\fracdfrac{(3+\frac{1}{n})frac1n}{\left(1+\frac{1}{n}frac1n\right)^{n}}=\frac{3}{e}frac3e>1</math>, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).

11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה - <math> (f\circ g)'(c) = f'\big(g(c)\big)\cdot g'(c). </math>

לכן הנגזרת המבוקשת היא <math>(f(f(f(x))))'=(f\circ f(f(x)))'=(f\circ g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)=f'(f(f(x)))\cdot (f(f(x)))'=f'(f(f(x)))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x)</math>.

נציב את הנקודה הנתונה: <math>\begin{align}\frac{d}{dx}\Big(f'\big(f\big(f(0x)\big)\big)\cdot Big)&=\frac{d}{dx}\Big(f'\circ f\big(f(0x)\big)\cdot Big)\\&=\frac{d}{dx}\big(f\circ g(x)\big)\\&=f'\big(0g(x)\big)\cdot g'(x)\\&=f'\big(f(0f(x))\big)\cdot \frac{d}{dx}\Big(f\big(f(x)\big)\Big)\\&=f'\big(f(f(0x))\big)\cdot f'\big(0f(x)=\big)\cdot f'(0x)^3=2^3=8\end{align}</math>. לכן בסה"כ '''8'''.

דוגמה פשוטה היא נציב את הנקודה הנתונה: <math>2xf'\big(f(f(0))\big)\cdot f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)=f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8</math>.

==חלק ג'==12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל- <math>x_n</math> תת -סדרה מתכנסת <math>\left \{ x_{n_k} \right \}</math>. נסמן את גבולה ב-<math>L</math>. היא מקיימת את הדרוש, שכן

<math>\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\lim_{k \to \infty } x_{n_{k+1}}-x_{n_k}=L-L=0</math> כנדרש.

<math>sinx, \sqrt{x}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון 13) היה בשיעורי הבית. (סינוס מחזוריתמניחים בשלילה, שורש הוכחנו בתרגולמשפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים) ולכן גם ההרכבה <math>sin\circ \sqrt{x}</math> רבמ"ש.

14 אגרנובסקי, דונין והורוביץזלצמן וינץ) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}, h(x)=\frac{1}{x}</math>;הוכחהידוע שהרכבת פונקציות רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.

מתקיים: <math>g'(x)=(\frac{fsin(x)}{x})'=,\fracsqrt{xf'(x)-f(x)}{x^2}</math> וגם הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>h'(x)=-\frac{1}sin\circ\sqrt{x^2}</math>רבמ"ש.

כעת14 אגרנובסקי, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל:דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\dfrac{f(x)}{x},h(x)=\dfrac1x</math> .

כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל: קיימת נקודה <math>c \in (x_1,x_2)</math> שבה עבורה מתקיים:<math>\fracdfrac{g'(c)}{h'(c)} =\fracdfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}</math>.

נפשט את שני אגפי השוויון הקודם: <math>\fracdfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}=\fracdfrac{\fracdfrac{f(x_2)}{x_2}-\fracdfrac{f(x_1)}{x_1}}{\frac{1}dfrac1{x_2}-\frac{1}dfrac1{x_1}}=\fracdfrac{\fracdfrac{x_1f(x_2)-fx_2f(x_1)x_2}{x_1x_2}}{\fracdfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}}=\fracdfrac{x_1f(x_2)-fx_2f(x_1)x_2}{x_1-x_2}</math>

ובאגף השני - <math>\fracdfrac{g'(c)}{h'(c)} =\fracdfrac{\fracdfrac{cfc\cdot f'(c)-f(c)}{c^2}}{-\frac{1}dfrac1{c^2}}=-(cf'f(c)-c\cdot f'(c))</math>

<math>-(cf'f(c)-f(c))=\frac{x_1f(x_2)-cdot f(x_1)x_2}{x_1-x_2}\Rightarrow f(c)-cf'(c)=\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>

<math>\blacksquare </math>