שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,

נוספו 3,984 בתים, 06:03, 10 בפברואר 2017
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19bf37da8b.pdf המבחן] )
==חלק א==
1) נכון. זאת ההגדרה.
2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.
2) נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: כיון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקציה טריויאלית - מוסיפים אברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס על-פי הגדרה.
3) הוכחה: יהי <math> \epsilon>0</math>.
3);הוכחהיהי <math>\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon varepsilon>0</math>.
<math>\begin{align}\lim_{n \to \infty }{}\Big[a_n-+b_n\Big]=a-+b\ \Rightarrow \ \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n >N_1\in to\mathbbBig|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\varepsilon\\\lim_{Nn\to\infty}\Big[a_n-b_n\Big]=a-b\ \Rightarrow\ \exists N_2\in\N: (\forall n>N_2\geq Nto\rightarrow Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )varepsilon\end{align}</math>
נגדיר:<math>N=\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}</math>.
אז לכל <math>n>N</math> מתקיים
אז לכל <math>n \geq N</math> מתקיים <math> begin{align}\Big|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\epsilon varepsilon\and\wedge Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )</math>, כלומר <math> varepsilon\\\Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\wedge and\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\end{align}</math>,
נחבר את שני האיאי-שוויוניםהשוויונות: <math> \Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|+\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon</math>
אבל לפי אי-שוויון המשולש  <math>\begin{align}2|a_n-a|=\big|2(a_n-a)\big|&=\Big|(a_n-a)+(b_n-b)+(a_n-a)-(b_n-b)\Big| \leq \&\le\Big|a_n-a+(b_n-b)\Big|+\Big|a_n-a-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon\end{align}</math>.  נצמצם ב2 ב-2 ונקבל ש<math>\lim_lim\limits_{n \to \infty }{a_n}=a</math>. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור <math>b</math> .
מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))
;דרך טיפה יותר אלגנטית
<math>\displaystyle\begin{align}a_n=\dfrac{(a_n+b_n)+(a_n-b_n)}{2}&,&b_n&=\dfrac{(a_n+b_n)-(a_n-b_n)}{2}\\\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=a&,&\lim_{n\to\infty}b_n&=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=b\end{align}</math>
 
 
4)
;הוכחה
הטור מתכנס לפי הנתון ל-0. ע"י שינוי סדר אברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימאן אכן קיים טור כדרוש.
 
 
5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי <math>\varepsilon>0</math> (התחלה מקורית).
 
מהנתון על <math>f</math> נובע <math>\exists M\in\R:\forall x\in(a,b):|f(x)|<M</math> .
 
מהנתון על <math>g</math> נובע <math>\exists\delta>0:\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to|g(x)|<\dfrac{\varepsilon}{M}</math> .
 
כעת, עבור <math>\delta</math> הנ"ל, <math>\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to\big|f(x)g(x)\big|=|f(x)|\cdot|g(x)|<M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon</math> , כנדרש.
 
 
6)
;הוכחה
רוצים להראות שהפונקציה <math>f|_{\R^+}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
 
יהי <math>y>0</math> . נגדיר <math>h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y</math> .
 
<math>h(0)=-y<0</math> , ואילו מכיון ש- <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=\infty</math> , קיימת נקודה <math>d</math> עבורה <math>h(d)>0</math> . לפי משפט ערך הביניים קיימת נקודה <math>x\in(0,d)</math> עבורה <math>h(x)=0</math> , כלומר <math>f(x)=y</math> !
 
 
7) הפרכה: נתבונן בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\ge3\\-1&x<3\end{cases}</math> בקטע <math>I=\R</math> .
 
ברור כי <math>f</math> אינה רציפה ב-3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>f^2</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.
 
 
8)
;הוכחה
כיון שנתון כי <math>a_n</math> חיובית, גם <math>\dfrac1{a_n}</math> חיובית. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים
<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math> ולכן הטור המבוקש מתכנס :)
 
==חלק ב'==
9)
 
<math>\begin{align}f(x)&=x^{3x}\\f'(x)&=\frac{d}{dx}(x^{3x})=\frac{d}{dx}\big(e^{3x\ln(x)}\big)=e^{3x\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\big(3x\ln(x)\big)=3x^{3x}\cdot\big(\ln(x)+1\big)\end{align}</math>
 
נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: <math>f'(2)=3\cdot2^6\big(\ln(2)+1\big)=192\big(1+\ln(2)\big)</math> .
 
<math>f(2)=64</math>. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל:
 
<math>y=64+192\big(1+\ln(2)\big)(x-2)=192\big(1+\ln(2)\big)x+64-384\big(\ln(2)+1\big)</math> .
 
 
10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}\right)^n</math> .
 
נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math>\dfrac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}</math> .
 
מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\frac3e>1</math> , ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).
 
 
11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה - <math>(f\circ g)'(c)=f'\big(g(c)\big)\cdot g'(c)</math>
 
לכן הנגזרת המבוקשת היא
 
<math>\begin{align}\frac{d}{dx}\Big(f\big(f\big(f(x)\big)\big)\Big)&=\frac{d}{dx}\Big(f\circ f\big(f(x)\big)\Big)\\&=\frac{d}{dx}\big(f\circ g(x)\big)\\&=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot\frac{d}{dx}\Big(f\big(f(x)\big)\Big)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot f'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)\end{align}</math>
 
נציב את הנקודה הנתונה: <math>f'\big(f(f(0))\big)\cdot f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)=f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8</math> .
 
דוגמא פשוטה היא <math>2x</math> .
 
 
==חלק ג'==
12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל- <math>x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>\left\{x_{n_k}\right\}</math> . נסמן את גבולה <math>L</math> .
 
היא מקיימת את הדרוש, שכן
4)הוכחה: הטור מתכנס לפי הנתון (ל0). ע"י שינוי סדר איברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימן אכן קיים טור כדרוש.<math>\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\lim_{k\to\infty}x_{n_{k+1}}=L</math>
5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי <math> \epsilon>0</math> (התחלה מקורית).ולכן לפי אריתמטיקת גבולות מתקיים
מהנתון על f נובע ש <math>\exists M lim_{k\in to\mathbbinfty}\Big[x_{Rn_{k+1}}-x_{n_k}:\forall x \in (a,b): |f(x)|<M Big]=L-L=0</math>כנדרש.
מהנתון על g נובע ש <math>\exists \delta >0:\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon }{M}</math>.
כעת, עבור <math>\delta</math> הנ"ל, <math>\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |f(x)g(x)|=|f(x)|\cdot |g(x)|<M\cdot \frac{\epsilon }{M}=\epsilon .</math>, כנדרש.
13) היה בשיעורי הבית. (מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)
6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה <math>f|_{R^+}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
יהי <math>y>0</math>. נגדיר <math>h(x14 זלצמן וינץ)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y</math>. <math>h(0)=-y<0</math>, ואילו מכיוון ;הוכחהידוע שהרכבת פונקציות רבמ"ש <math>\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty </math>, קיימת נקודה d עבורה <math>h(d)>0</math>בקטע היא רבמ"ש באותו קטע. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה <math>x</math> בקטע <math>(0,d)</math> שבה <math>h(x)=0</math>, כלומר <math>f(x)=y</math>!
<math>\sin(x),\sqrt{x}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>\sin\circ\sqrt{x}</math> רבמ"ש.
7) הפרכה: נתבונן בפונ'
<math>
f(x)=\left\{\begin{matrix}
1 &x\geq 3 \\
-1 & x<3
\end{matrix}\right.
</math>
בקטע <math>I=\mathbb{R}</math>.
ברור ש14 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\dfrac{f</math> אינה רציפה ב3(x)}{x}, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>f^2h(x)=\dfrac1x</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.
מתקיים: <math>g'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)=\dfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}</math> וגם <math>h'(x)=-\dfrac1{x^2}</math> .
9) <math>f(x)=x^{3x}</math>. נגזור:
<math>f'(x)=(x^{3x})'=(e^{3xlnx})'=e^{3xlnx}\cdot (3xlnx)'=x^{3x}\cdot (3lnx+3)</math>.כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל:
נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: קיימת נקודה <math>fc\in(x_1,x_2)</math> עבורה מתקיים <math>\dfrac{g'(2c)=2^}{6h'(c)}=\cdot dfrac{g(3ln2+3x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}</math>.
נפשט את שני אגפי השוויון הקודם: <math>\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}=\dfrac{\dfrac{f(2x_2)}{x_2}-\dfrac{f(x_1)}{x_1}}{\dfrac1{x_2}-\dfrac1{x_1}}=2^\dfrac{6\dfrac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1x_2}}{\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}}=\dfrac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל:
ובאגף השני - <math>y=2^\dfrac{6g'(c)}+2^{6h'(c)}=\dfrac{\dfrac{c\cdot f'(3ln2+3c)-f(xc)}{c^2}}{-\dfrac1{c^2)=}}= 192f(x-2c)-c\cdot f'(1+ln(2)c)+64</math>.
ובסך הכל קיבלנו את הדרוש:
14<math>f(c) הוכחה: ידוע שהרכבת פונ-c\cdot f' רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע. (c)=\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>
<math>sinx, \sqrt{x}blacksquare</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>sin\circ \sqrt{x}</math> רבמ"ש.
יהודה שמחה
226
עריכות
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מיוחד:השוואה_ניידת/19187...70462